8 命題の証明

本節では、命題 1 を証明する。

は、

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_{r_1}^R \sqrt{\frac{G_1(f)}{k_1^2f^2-G_1(f)}} \frac{df}{f}\end{displaymath}$ (33)

であり、

は (12) により決まるが、逆に

が

から (13) により決まるとも見れるので、そう見ればこの

は

の関数 $\hat{h}(r_1)$ と考えることもできる。それらは必要に応じて適宜使い分ける。なお、 $k_1\rightarrow +0$ は $r_1\rightarrow R-0$ に対応し、 $k_1\rightarrow\infty$ は $r_1\rightarrow +0$ に対応し、

と

の増加方向は逆であることに注意する。

まずを動かすと、(33) の特異性を持つ分母も動いてしまい、極限を考えにくいので、(33) を以下により置換する。

$\begin{displaymath} s = \frac{\sqrt{k_1^2f^2-G_1(f)}}{k_1}\end{displaymath}$ (34)

これは、

に関して単調なので、

とも書けるが、逆に

を

の関数と見ることもできる。それを

とすると、

$\begin{displaymath} \frac{ds}{df} = \frac{1}{2k_1} \frac{2k_1^2f+g(f)}{\sqrt{k_1^2f^2-G_1(f)}} \end{displaymath}$

で、

なので、

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_0^R \frac{2k_1\sqrt{G_1(f_1)}}{2k_1^2f_1^2+f_1g(f_1)} ds\end{displaymath}$ (35)

となる。

まず、 $k_1\rightarrow +0$ 、すなわち $r_1\rightarrow R-0$ の極限を考える。はに関して増加、よってもに関して増加であり、よってに対してとなっている。

今、 $r_1\rightarrow R-0$ であるから、 $0<k_1\leq\delta$ で $r_1\geq R/2$ となるような $\delta$ () が取れる。このとき、 $f_1(s,k_1)\geq r_1 \geq R/2$ であるから、

$\begin{displaymath} 2k_1^2f_1^2+f_1g(f_1) \geq \frac{R}{2}g\left(\frac{R}{2}\right), \hspace{1zw} \sqrt{G_1(f_1)}\leq \sqrt{G(R)} \end{displaymath}$

となり、よって (35) より

$\begin{displaymath} 0<h(k_1)\leq \frac{2k_1\sqrt{G(R)}}{(R/2)g(R/2)}\int_0^R ds = \frac{4k_1\sqrt{G(R)}}{g(R/2)} \end{displaymath}$

となり、右辺は $k_1\rightarrow +0$ のとき 0 に収束するので、これで (17) が示されたことになる。

次は $k_1\rightarrow\infty$ 、すなわち $r_1\rightarrow +0$ の極限を考える。 (35) をさらにと置換すると、

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_0^{k_1R} \frac{2\sqrt{G_1(f_2)}}{2k_1^2f_2^2+f_2g(f_2)} dp \end{displaymath}$

となる。ここで

は

を

に書き換えたもの、すなわち

である。 (34) より

$\begin{displaymath} k_1^2f_2^2 = k_1^2s^2 + G_1(f_2) = p^2 + G_1(f_2) \end{displaymath}$

なので、

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_0^{k_1R}\frac{\sqrt{G_1(f_2)}}{p^2+G_1(f_2)+f_2g(f_2)/2} dp\end{displaymath}$ (36)

となる。

は、

$\begin{displaymath} f_2^2 = \frac{p^2+G_1(f_2)}{k_1^2}\leq \frac{p^2}{k_1^2} \end{displaymath}$

であるから、 $k_1\rightarrow\infty$ で 0 に収束する。よって、(36) の被積分関数は

$\begin{displaymath} \lim_{k_1\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{G_1(f_2)}}{p^2+G_1(... ...frac{\sqrt{G_1(0)}}{p^2+G_1(0)} = \frac{\sqrt{G(R)}}{p^2+G(R)}\end{displaymath}$ (37)

に収束し、よって

は、

$\begin{displaymath} \lim_{k_1\rightarrow \infty}{h(k_1)} = \int_0^\infty\frac{\sqrt{G(R)}}{p^2+G(R)} dp\end{displaymath}$ (38)

となりそうである。これが成り立つことをちゃんと示すために、次のルベーグ収束定理を用いる。

定理 2. (ルベーグ収束定理): 上の関数 , が、すべての , で $\vert f_n(x)\vert\leq g(x)$ を満たし、
$\begin{displaymath} \int_0^\infty g(x)dx<\infty,\hspace{1zw} \lim_{n\rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x) \end{displaymath}$

であるとき、次が成り立つ。
$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty}{\int_0^\infty f_n(x)dx} = \int_0^\infty f(x)dx \end{displaymath}$

この定理の証明は、ルベーグ積分の適当な成書 (例えば [3]) を参照。

今、

$\begin{displaymath} \chi_{k_1}(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (0<x<k_1R)\\ 0 & (x>k_1R)\end{array}\right.\end{displaymath}$

とすると、(36) は

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_0^{\infty}\frac{\chi_{k_1}(x)\sqrt{G_1(f_2)}}% {p^2+G_1(f_2)+f_2g(f_2)/2} dp\end{displaymath}$ (39)

となるが、 $k_1\rightarrow\infty$ のとき $\chi_{k_1}(x)\rightarrow 1$ なので、 (39) の被積分関数の極限も (37) の極限に等しい。一方、

は増加関数なので、

$\begin{displaymath} G(f_2) - f_2g(f_2) = \int_0^{f_2}g(r)dr - f_2g(f_2) = \int_0^{f_2}(g(r) - g(f_2))dr \leq 0 \end{displaymath}$

であり、よって

$\begin{displaymath} G_1(f_2) + \frac{f_2g(f_2)}{2} = \frac{G_1(f_2)}{2}+\frac{G(R)}{2}+\frac{1}{2}(f_2g(f_2)-G(f_2)) \geq \frac{G(R)}{2} \end{displaymath}$

となる。 $G_1(f_2)\leq G(R)$ より、 (39) の被積分関数は

$\begin{displaymath} \frac{\chi_{k_1}(x)\sqrt{G_1(f_2)}} {p^2+G_1(f_2)+f_2g(f_2)/2} \leq \frac{G(R)}{p^2+G(R)/2} \end{displaymath}$

とおさえられることがわかり、この右辺は

によらず、

$\begin{displaymath} \int_0^\infty\frac{G(R)}{p^2+G(R)/2} dp \leq \int_0^1\frac{... ...} dp + \int_1^\infty\frac{G(R)}{p^2} dp = 2 + G(R) < \infty \end{displaymath}$

となる。よって定理 2 が適用でき、確かに (38) が成り立つことがわかる。

$\begin{displaymath} \int_0^\infty\frac{\sqrt{G(R)}}{p^2+G(R)} dp = \int_0^\inft... ...c{du}{u^2+1} = \left[\arctan u\right]_0^\infty = \frac{\pi}{2} \end{displaymath}$

となるので、これで (18) も示された。

最後は、の単調性であるが、それは (36) を用いる。 (36) の分母には特異性はなく、

$\begin{displaymath} h(k_1) = \int_0^{k_1R}F_1(f_2(p,k_1),p)dp, \hspace{1zw} F_1(f_2,p) = \frac{\sqrt{G_1(f_2)}}{p^2+G_1(f_2)+f_2g(f_2)/2} \end{displaymath}$

の形である。よって、

に対して

の微分は、

$\begin{displaymath} h'(k_1) = RF_1(f_2(k_1R,k_1),k_1R) + \int_0^{k_1R}\frac{\... ...ial F_1}{\partial f_2} \frac{\partial f_2}{\partial k_1} dp\end{displaymath}$ (40)

となる。ここで、

の分母を

とすると $\partial F_1/\partial f_2$ は、

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial F_1}{\partial f_2} &=& \frac{\left(-g/(2\sqrt{... ...ight) \ &=& - \frac{gp^2+f_2g^2/2+f_2g'G_1}{2\sqrt{G_1}F_2^2}\end{eqnarray*}$