3 誤差関数の漸近展開

漸近展開の対象となる関数は、それなりに厄介な関数である場合が多く、 またテイラー展開のように決まった方法もあまりないので、 個別に特別な方法で求めていくことが多いようである。 本節ではまずそのような例の 1 つとして誤差関数 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ の漸近展開を 考えてみることにする。

$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ は、次の式で定義される関数である。

$$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$$

$e^{-t^2}$ の不定積分を簡単な関数で表すことはできないので、 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ を積分を使わずに書くことはできない。

しかし、 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ は微分が

$$(\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x)'=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$

と簡単な式で書けるので、 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ の場合はロピタルの定理を用いて 漸近展開を得ることができる。

よく知られているように、

$$\int_0^\infty e^{-t^2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

であるから、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty e^{-t^2}dt =1$$

となる。これは、$\phi_0(x)=1$ が第 1 近似であることを示している。 第 2 近似は

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x - 1}{\phi_1(x)}=1$$ (4)

となる $\phi_1$ を見つければよいのであるが、 (4) の分子を荒く評価すると、

$$\vert\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x - 1\vert = \frac{2}{\s... ...pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}dt \leq \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$

であるから、 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x-1 = O(e^{-x^2})$ であることがわかる。 よって $(\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x - 1)/e^{-x^2}$ の極限を考えてみると、 これは $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理により、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathop{\mathrm{erf}}\nolimit... ...\pi}}\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{e^{-x^2}}{-2xe^{-x^2}} =0$$

となってしまうので、実際には $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x-1 = o(e^{-x^2})$ であり、 この分母では少し大きい。よって、

$$\phi_1(x)=\frac{a_1}{\sqrt{\pi}}\,\frac{e^{-x^2}}{x}$$

としてみると、

$$\phi_1'(x) = \frac{a_1}{\sqrt{\pi}x}(-2xe^{-x^2})-\frac{a_1... ... = \frac{a_1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\left(-2-\frac{1}{x^2}\right)$$

であるから、$a_1=-1$ とすれば (4) が成り立つことが ロピタルの定理によりわかる。 すなわち第 2 近似は、

$$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x\sim 1-\frac{1}{\sqrt{\pi}x}e^{-x^2}$$ (5)

となる。同様に第 3 近似は

$$\frac{\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x-1+e^{-x^2}/(\sqrt{\pi}x)}{\phi_2(x)}\rightarrow 1$$ (6)

となる $\phi_2(x)$ を見つければよいが、

$$% latex2html id marker 1692(\mbox{(\ref{eq:erf-1-2nd/phi_2... ...c{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\frac{e^{-x^2}}{x^2}$$

なので

$$\phi_2(x)=\frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\,\frac{e^{-x^2}}{x^3}$$

とすれば

$$\phi_2'(x)=\frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\,\frac{e^{-x^2}}{x^2} \left(-2-\frac{3}{x^2}\right)$$

となるから $a_2=1/2$ とすればよい。よって第 3 近似は、

$$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x\sim 1+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^3}\right)$$

となる。以下、同様に第 $(N+2)$ 近似は

$$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x\sim 1+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \sum_{k=0}^{N}\frac{a_k}{x^{2k+1}}$$

の形となる。この $a_k$ を求める。この場合は、

$$\frac{\displaystyle \mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x -1 -\f... ..._N}{x^{2N+1}}} \rightarrow 1 \hspace{1zw}(x\rightarrow\infty)$$ (7)

となるわけであるが、

$$(\mbox{(\ref{eq:erf-(N-1)/N}) の分母})' = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left(-\frac{2a_N}{x^{2N}}-\frac{(2N+1)a_N}{x^{2N+2}}\right), %\label{eq:erf-(N-1)/N:under}$$

$$(\mbox{(\ref{eq:erf-(N-1)/N}) の分子})' = \frac{2e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} -\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left... ...}^{N-1}\frac{a_k}{x^{2k+1}} -\sum_{k=0}^{N-1}(2k+1)\frac{a_k}{x^{2k+2}}\right)$$

$$= \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left(2+\sum_{k=0}^{N-1}\frac{2a_k}{x^{2k}} +\sum_{k=1}^{N}(2k-1)\frac{a_{k-1}}{x^{2k}}\right)$$ (8)

であるから、(7) が成り立つには、 (8) のかっこ内の $1/x^0$ から $1/x^{2N-2}$ までの 項がすべて消える必要がある。よって、

$$a_0=-1,\hspace{1zw}a_k=-\frac{2k-1}{2}\,a_{k-1}$$

が成り立つ必要があり、ここから

$$\begin{eqnarray*}a_k &=& -\frac{2k-1}{2}\,a_{k-1} = \left(-\frac{2k-1}{2}\... ...s\left(-\frac{1}{2}\right) a_0 = (-1)^{k+1}\frac{(2k-1)!!}{2^k}\end{eqnarray*}$$

となることがわかる。ここで、$m!!$ は、

$$m!!= \left\{\begin{array}{ll} (2k-1)(2k-3)\cdots 3\cdot 1 &... ...k-2)\cdots 4\cdot 2 & (\mbox{$m=2k$\ のとき})\end{array}\right.$$

を表す記号で、さらに $0!!=(-1)!!=1$ であるとする。 なお、この $m!!$ は、以下のように通常の階乗を用いて表すこともできる。

$$\begin{eqnarray*}(2k)!! &=& (2k)(2k-2)\cdots 4\cdot 2 = 2^k k!,\\ (2k-1)!!... ... \frac{(2k)!}{2k(2k-2)\cdots 4\cdot 2} = \frac{(2k)!}{2^k k!}\end{eqnarray*}$$

結局、 $\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x$ の漸近展開は

$$\mathop{\mathrm{erf}}\nolimits x \sim 1+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(2k-1)!!}{2^k}\,\frac{1}{x^{2k+1}}$$

$$= 1+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\left( -\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^3}-\frac{3\cdot 1}{4x^5} +\frac{5\cdot 3\cdot 1}{8x^7}-\cdots\right)$$ (9)

となることがわかった。

なお、(9) の右辺は無限和の形で書いているが、

$$\left\vert\frac{(2k-1)!!}{2^kx^{2k+1}}\right\vert\rightarrow\infty$$ (10)

であるから、この級数は無限級数としては発散級数であり、 よってこの右辺はあくまで定義 1 の意味での和であることに注意する。

この (10) が成り立つことは、 次の項との絶対値の比を考えればわかる。 その比は

$$\left\vert\frac{(2k+1)!!}{2^{k+1}x^{2k+3}} \left/\frac{(2k-1)!!}{2^kx^{2k+1}}\right.\right\vert =\frac{2k+1}{2x^2}$$

であるが、これはどのような $x$ に対しても、 あるところからは 1 を越えて大きくなる。 (10) の左辺はそのような数を 順にかけて作られる数列であるから、 よって (10) が成り立つことになる。