7 白夜と真上の太陽の条件

最後に、6 節で触れた、 白夜と、太陽が真上に来るための条件を求めてみる。 なお、以後の議論はいずれも北半球 ( $\theta$ $\geq$ 0 ) で考えることにする。

まず白夜の方であるが、 太陽は $\overrightarrow{\mbox{\rm P\mbox{$\bar{\mathrm{S}}$}}}$ に垂直な面上で、中心 $\bar{{\mathrm{S}}}$ の円運動であり、 その最下点を H とする (図 8) と、

図 8: $\bar{{e}}_{y}^{}$ , $\bar{{e}}_{z}^{}$ 面で見た太陽の軌道面

(10) より、

$$\overrightarrow{\mbox{\rm PH}}$$ = $$\overrightarrow{\mbox{\rm P\mbox{$\bar{\mathrm{S}}$}}}$$ + $$\overrightarrow{\mbox{\rm\mbox{$\bar{\mathrm{S}}$}H}}$$ = - $$\rho$$$$\mbox{\boldmath$\mu$}$$sin$$\alpha$$sin$$\beta$$ - R$$\mbox{\boldmath$\xi$}$$

となることがわかる。 よって、このベクトルの $\bar{{e}}_{z}^{}$ 成分が 正であることが白夜の条件であるから、(7) より

$$\overrightarrow{\mbox{\rm PH}} \mbox{\boldmath$\bar{e}_z$} \rho \alpha \beta \theta \theta$$ =

$$\rho \alpha \beta \theta \rho \sqrt{{1-\sin^2\alpha\sin^2\beta}} \theta \geq$$ =

すなわち

-sin$$\alpha$$sin$$\beta$$tan$$\theta$$ $$\geq$$ $$\sqrt{{1-\sin^2\alpha\sin^2\beta}}$$

が条件となる。これは sin$\beta$ < 0 の場合で、このとき、

$$\alpha \beta \theta \geq \alpha \beta$$

$$\alpha \beta \theta \geq$$

$$\alpha \beta \geq \theta$$

となるので、よって

$$\beta \geq {\frac{{\cos\theta}}{{\sin\alpha}}}$$ (11)

のときに白夜となることがわかる。なお、これは

$${\frac{{\cos\theta}}{{\sin\alpha}}}$$ $$\leq$$ 1

でなければ起こり得ず、逆にこのときはそのような季節が存在する。 そしてこの不等式は、

cos$$\theta$$ $$\leq$$ sin$$\alpha$$ = cos$$\left(\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right.$$$${\frac{{\pi}}{{2}}}$$ - $$\alpha$$$$\left.\vphantom{\frac{\pi}{2}-\alpha}\right)$$

より、

$$\theta \geq {\frac{{\pi}}{{2}}} \alpha$$ (12)

となる。よってこの (12) を満たす高緯度地帯で、 (11) が満たされる季節が白夜、ということになる。

次に、太陽が真上に来るのはどういう場所であるかを考えてみる。 これは、図 8 の軌道最上点 K 以外は、 $\overrightarrow{\mbox{\rm P\mbox{$\bar{\mathrm{O}}$}}}$ は $\bar{{e}}_{x}^{}$ 成分を持つので真上にはこず、 (10) より

$$\overrightarrow{\mbox{\rm PK}}$$ = $$\overrightarrow{\mbox{\rm P\mbox{$\bar{\mathrm{S}}$}}}$$ + $$\overrightarrow{\mbox{\rm\mbox{$\bar{\mathrm{S}}$}K}}$$ = - $$\rho$$$$\mbox{\boldmath$\mu$}$$sin$$\alpha$$sin$$\beta$$ + R$$\mbox{\boldmath$\xi$}$$

となり、このベクトルの $\bar{{e}}_{y}^{}$ 成分が 0 になるときが 真上にくる条件、ということになる。 (7) より

$$\overrightarrow{\mbox{\rm PK}} \mbox{\boldmath$\bar{e}_y$} \rho \alpha \beta \theta \theta$$ =

$$\rho \alpha \beta \theta \rho \sqrt{{1-\sin^2\alpha\sin^2\beta}} \theta$$ =

となるので、

-sin$$\alpha$$sin$$\beta$$ = $$\sqrt{{1-\sin^2\alpha\sin^2\beta}}$$tan$$\theta$$

という場合になる。これは sin$\beta$ < 0 のときで、

$$\alpha \beta \alpha \beta \theta$$

$$\alpha \beta \theta \theta$$

$$\alpha \beta \theta$$

となるので、よって、

$$\beta {\frac{{\sin\theta}}{{\sin\alpha}}}$$ (13)

のとき、ということがわかる。なお、これは

$${\frac{{\sin\theta}}{{\sin\alpha}}}$$ $$\leq$$ 1

でなければこれは起こり得ず、逆にこのときはそのような季節が存在する。 そしてこの不等式は、

$$\theta \leq \alpha$$ (14)

を意味する。この緯度 23.44^o は 北回帰線 と呼ばれている。 よって、この北回帰線を越えて赤道に近い方にいけば、 (13) を満たす日には 太陽を真上に見ることができることになる。