4 観測点での座標系

地球上の点 P での座標系は、 P での地球の接平面 (以後これを地表平面と呼ぶことにする) 上の 2 軸と P での真上の軸、すなわち QP 方向の軸から構成される。 地表平面上の軸は、緯線に沿って東経の増える方向 (つまり東向き) と、 経線に沿って北緯の増える方向 (つまり北向き) に取る。 この東向き、北向き、および真上の方向の単位ベクトルをそれぞれ $\bar{{e}}_{x}^{}$ , $\bar{{e}}_{y}^{}$ , $\bar{{e}}_{z}^{}$ とする (図 5)。

図 5: 観測点での座標系

$\bar{{e}}_{x}^{}$ は、P を通る緯線に接して東へ向くベクトルなので、 $\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$ をパラメータ t で微分した導関数と同じ向きになる。 (1) より、

$${\frac{{\partial}}{{\partial t}}}$$$$\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$$ = r(- $$\mbox{\boldmath$e_x$}$$sin t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$cos t)cos$$\theta$$

となり、 - $\pi$/2 $\leq$ $\theta$ $\leq$ $\pi$/2 より cos$\theta$ $\geq$ 0 であり、

| - $$\mbox{\boldmath$e_x$}$$sin t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$cos t| = $$\sqrt{{\sin^2 t+\cos^2 t}}$$ = 1

なので、よって、 $\bar{{e}}_{x}^{}$ は $\partial$$\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$/$\partial$t を r cos$\theta$ で割ったもの、つまり

$$\mbox{\boldmath$\bar{e}_x$} \mbox{\boldmath$e_x$} \mbox{\boldmath$\tau$}$$ (2)

となる。 同様に、 $\bar{{e}}_{y}^{}$ は、 $\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$ をパラメータ $\theta$ で微分した導関数と同じ向きになるから、

$${\frac{{\partial}}{{\partial\theta}}}$$$$\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$$ = r$$\mbox{\boldmath$\omega$}$$cos$$\theta$$ - r($$\mbox{\boldmath$e_x$}$$cos t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$sin t)sin$$\theta$$

で、

|$$\mbox{\boldmath$\omega$}$$cos$$\theta$$ - ($$\mbox{\boldmath$e_x$}$$cos t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$sin t)sin$$\theta$$| = $$\sqrt{{\cos^2\theta+\cos^2 t\sin^2\theta+\sin^2 t\sin^2\theta}}$$ = 1

なので、 $\bar{{e}}_{y}^{}$ は $\partial$$\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$/$\partial$$\theta$ を r で割ったもの、つまり

$$\mbox{\boldmath$\bar{e}_y$} \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \theta \mbox{\boldmath$\tau$} \theta$$ (3)

となる。 $\bar{{e}}_{z}^{}$ は $\overrightarrow{\mbox{\rm QP}}$ と同じ向きの単位ベクトルで、

$$\overrightarrow{\mbox{\rm QP}}$$ = r$$\mbox{\boldmath$\omega$}$$sin$$\theta$$ + r($$\mbox{\boldmath$e_x$}$$cos t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$sin t)cos$$\theta$$

であり、 |$\overrightarrow{\mbox{\rm QP}}$| = r より、 $\bar{{e}}_{z}^{}$ = $\overrightarrow{\mbox{\rm QP}}$/r 、すなわち

$$\mbox{\boldmath$\bar{e}_z$} \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \theta \mbox{\boldmath$\tau$} \theta$$ (4)

となる。なお、

$$\mbox{\boldmath$\bar{e}_x$} \mbox{\boldmath$\bar{e}_y$}$$

$$\mbox{\boldmath$e_x$} \mbox{\boldmath$\tau$} \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \theta \mbox{\boldmath$\tau$} \theta$$ =

$$\mbox{\boldmath$e_x$} \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \mbox{\boldmath$\tau$} \theta \mbox{\boldmath$\tau$} \mbox{\boldmath$\omega$} \theta$$ =

$$\mbox{\boldmath$\tau$} \mbox{\boldmath$e_x$} \theta$$

であり、 $\tau$ = $\omega$ x e_x より e_x x $\tau$ = $\omega$ , $\tau$ x $\omega$ = e_x なので、

$$\mbox{\boldmath$\bar{e}_x$} \mbox{\boldmath$\bar{e}_y$} \mbox{\boldmath$\tau$} \theta \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \theta \mbox{\boldmath$\omega$} \theta$$ =

$$\mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \theta \mbox{\boldmath$\tau$} \theta \mbox{\boldmath$\bar{e}_z$}$$ =

もわかる。