2 行列化

まずは (1), (2) を行列化する。

$$X=\left[\begin{array}{c}f(x_0)\\ f(x_1)\\ \vdots\\ f(x_{L-1})\en... ...Y=\left[\begin{array}{c}F(s_0)\\ F(s_1)\\ \vdots\\ F(s_{N-1})\end{array}\right]$$ (3)

に対し、(1), (2) は、

$$Y=\alpha\Delta x AX, \hspace{1zw}X=\frac{\Delta s}{2\pi\alpha}BY$$ (4)

と書ける。ここで、$A,B$ は、

$$A = \left[\begin{array}{ccc} e^{-s_0x_0 i} & \cdots & e^{-s_0x_... ...& & \vdots\\ e^{s_0x_{L-1}i} & \cdots & e^{s_{N-1}x_{L-1}i}\end{array}\right]$$ (5)

であり、 $B={}^t\overline{A}$ でもある。

これにより条件 I は、任意の $X$ に対し、

$$\left(\frac{\Delta s}{2\pi\alpha}B\right)(\alpha\Delta x AX) = X$$

となること、すなわち

$$BA = \frac{2\pi} {\Delta s\Delta x}E \hspace{1zw}(\mbox{$E$\ は単位行列})$$ (6)

となることを意味し、条件 II は、任意の $Y$ に対して

$$(\alpha\Delta x A)\left(\frac{\Delta s}{2\pi\alpha}BY\right) = Y$$

すなわち

$$AB = \frac{2\pi} {\Delta x\Delta s}E$$ (7)

となることを意味する。