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3 偶数次、奇数次による対称性

$h=\bar{g}$ により (2) は、

$\begin{displaymath} f(x^2)=g(x)(x-i)^m+\bar{g}(x)(x+i)^m\end{displaymath}$

(5)

になるが、左辺が偶数次の項のみなので、これを利用すると

の形はもう少し限定することができる。

容易にわかるように、は、

$\begin{displaymath} (x+i)^m = p(x)+iq(x) = \left\{\begin{array}{ll} \alpha(x^2... ...+ i\delta(x^2) & (\mbox{$m$\ が奇数のとき}) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(6)

のように書ける。ここで、 $\alpha(y)$ , $\beta(y)$ , $\gamma(y)$ , $\delta(y)$ は実数係数の整式で、その次数は

$\begin{displaymath} \deg\alpha = \frac{m}{2}, \ \deg\beta = \frac{m-2}{2}, \ \deg\gamma = \frac{m-1}{2}, \ \deg\delta = \frac{m-1}{2}\end{displaymath}$

(7)

となる。

の係数を実数部分と虚数部分に分離して、 ( は実数係数の整式) とすると、 $\bar{g}(x)=g_1(x)-ig_2(x)$ であり、また $(x-i)^m=\overline{(x+i)^m}=p(x)-iq(x)$ であるから、 (5) より、

$\begin{displaymath} f(x^2)=(g_1+ig_2)(p-iq)+(g_1-ig_2)(p+iq)=2pg_1+2qg_2\end{displaymath}$

(8)

となる。

が偶数の場合、は高々次の多項式だから、それを偶数次と奇数次に分けて

$\begin{displaymath} g_j(x) = s_j(x^2) + xt_j(x^2)\hspace{1zw}(j=1,2)\end{displaymath}$

(9)

のようにすると、

$\begin{displaymath} \deg s_j\leq \frac{m-2}{2},\ \deg t_j\leq \frac{m-2}{2} \end{displaymath}$

であり、(6), (8) より、

$\begin{eqnarray*}f(x^2) &=& 2pg_1+2qg_2 \\ &=& 2\alpha(x^2)\{s_1(x^2)+xt_1... ...eta(x^2)t_2(x^2)\} +2x\{\alpha(x^2)t_1(x^2)+\beta(x^2)s_2(x^2)\}\end{eqnarray*}$

となる。左辺は偶数次の項しかないので、右辺の奇数次の項の和は 0、すなわち

$\begin{displaymath} \alpha(x^2)t_1(x^2)+\beta(x^2)s_2(x^2) = 0 \end{displaymath}$

が成り立つことになる。よってすべての

に対し、

$\begin{displaymath} \alpha(y)t_1(y)+\beta(y)s_2(y) = 0\end{displaymath}$

(10)

が成り立つ。

しかし、後で示すように、とは互いに素なので、 $\alpha(y)$ と $\beta(y)$ も互いに素であり、この式の多項式の次数は

$\begin{displaymath} \deg\alpha =\frac{m}{2}, \ \deg\beta=\frac{m-2}{2}, \ \deg s_2\leq\frac{m-2}{2}, \ \deg t_1\leq\frac{m-2}{2} \end{displaymath}$

となっている。(10) より、

$\begin{displaymath} \alpha(y)t_1(y)=-\beta(y)s_2(y) \end{displaymath}$

であり、左辺の因子 $\alpha(y)$ は右辺の因子でもあり、 $\alpha$ と $\beta$ は互いに素なので、 $\alpha$ は

の因子でなければいけないが、次数を比較すれば

でなければならないことがわかる。よって、

にもなる。

結局、が偶数の場合は、

$\begin{displaymath} g_1(x) = s_1(x^2),\hspace{1zw}g_2(x)=xt_2(x^2) \end{displaymath}$

となるので

は

$\begin{displaymath} g(x) = g_1(x) + ig_2(x) = s_1(x^2) + ixt_2(x^2)\end{displaymath}$

(11)

の形になることになる。

同じようにが奇数の場合を考えてみると、は高々次の多項式だから、同様に (9) のように分けると、, の次数は

$\begin{displaymath} \deg s_j\leq \frac{m-1}{2},\ \deg t_j\leq \frac{m-3}{2} \end{displaymath}$

となる。(6), (8) より、

$\begin{eqnarray*}f(x^2) &=& 2pg_1+2qg_2 \\ &=& 2x\gamma(x^2)\{s_1(x^2)+xt_... ...ta(x^2)s_2(x^2)\} +2x\{\gamma(x^2)s_1(x^2)+\delta(x^2)t_2(x^2)\}\end{eqnarray*}$

となり、この場合は

$\begin{displaymath} \gamma(y)s_1(y)+\delta(y)t_2(y)=0\end{displaymath}$

(12)

が成り立つ。

と

が互いに素なのでこの $\gamma(y)$ と $\delta(y)$ も互いに素で、次数は

$\begin{displaymath} \deg\gamma =\frac{m-1}{2}, \ \deg\delta=\frac{m-1}{2}, \ \deg s_1\leq\frac{m-1}{2}, \ \deg t_2\leq\frac{m-3}{2} \end{displaymath}$