4 積の微分による証明

これは、例えば [2] にも書かれている方法であり、 先に積の微分が証明されているとしてそれを用いる方法である。

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$ とすると $f(x)=h(x)g(x)$ となるので、 積の微分より、

$$f' = (hg)' = h'g+hg' = h'g+\frac{fg'}{g}$$

となるから、

$$h'g = f'-\,\frac{fg'}{g} =\frac{f'g-fg'}{g}, \hspace{1zw} h' =\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

を得る、という方法である。 これは極限を必要とせず、比較的容易に導き出せる方法であると思う。 逆にこれを、商の微分の検算に使うことも可能である。 例えば、

  $$y = \frac{3x^2-5}{2x-7}$$ (1)

の微分を商の微分で

  $$y' = \frac{6x(2x-7)-(3x^2-5)2}{(2x-7)^2} = \frac{6x^2-42x+10}{(2x-7)^2}$$ (2)

と求めた後で、これが合っているかを確認するのに、(1) から

$$3x^2-5 = (2x-7)y$$

として、この両辺を積の微分で

$$6x=2y+(2x-7)y'$$

とした後で、この右辺に (1), (2) を代入して、確かに $6x$ になるかをみる、 という方法である。実際、

$$2y+(2x-7)y' = \frac{6x^2-10}{2x-7} + \frac{6x^2-42x+10}{2x-7} = \frac{12x^2-42x}{2x-7} = 6x$$

となるので、 この場合は (2) が正しいことがわかる。