2 巾乗と指数関数の積の積分

本節では、$x^n$ と $e^{\alpha x}$ の積の積分

  $$I_1(x; n, \alpha) = \int x^ne^{\alpha x}dx \hspace{1zw}(n\geq 0: \mbox{ 整数},\ \alpha\neq 0)$$ (1)

を考える。まず、簡単な置換により、 この積分は $\alpha = 1$ の場合に帰着できる。$\alpha x=t$ により、

  $$I_1(x; n, \alpha) = \int \left(\frac{t}{\alpha}\right)^ne^t\fr... ... = \frac{1}{\alpha^{n+1}}I_1(t;n,1) = \frac{1}{\alpha^{n+1}}I_1(\alpha x;n,1)$$ (2)

となるからである。よってとりあえず、$\alpha = 1$ の場合を考える。

部分積分

  $$\int f'gdx = fg - \int fg'dx$$ (3)

により $I_1(x;n,1)$ は、

$$I_1(x;n,1) = \int x^ne^x dx \ = \ \int x^n(e^x)' dx \ = \ x^ne^x - \int (x^n)'e^x dx$$

$$= x^ne^x - nI_1(x;n-1,1)$$ (4)

と $n$ を一つ下げた積分に帰着でき、 これを繰り返すことで最終的に

$$I_1(x;0,1) = \int e^xdx = e^x +C$$

に帰着でき、積分が終わる、というのが通常の大まかな方針である。

一方、(4) の式の両辺を $(-1)^n/n!$ 倍すれば、

$$\begin{eqnarray*}\frac{(-1)^n}{n!}I_1(x;n,1) &=& \frac{(-1)^n}{n!}x^ne^x - \fr... ... \frac{(-1)^n}{n!}x^ne^x + \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}I_1(x;n-1,1)\end{eqnarray*}$$

となり、

  $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{(-1)^n}{n!}I_1(x;n,... ...-1)^0}{0!}I_1(x;0,1) = e^x + C = \frac{(-1)^0}{0!}e^x + C \end{array}\right.$$ (5)

と書けるので、この階差数列から、

  $$\frac{(-1)^n}{n!}I_1(x;n,1) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}x^ke^x + C$$ (6)

という一般式が得られる。 この式の右辺は、$e^{-x}$ の $n$ 次のマクローリン展開式と、$e^x$ との 積の形になっているが、それについては、5 節で 改めて紹介する。

また、(2) を考えれば、

$$I_1(x;n,\alpha) = \frac{1}{\alpha^{n+1}}I_1(\alpha x;n,1) = \fra... ...1)^n}{\alpha^{n+1}} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}(\alpha x)^ke^{\alpha x} + C$$

となるので、

  $$\frac{(-\alpha)^n}{n!}I_1(x;n,\alpha) = \frac{1}{\alpha}\sum_{k=0}^n \frac{(-\alpha)^k}{k!}x^ke^{\alpha x} + C$$ (7)

となっていることがわかる。

なお、(6) は、積の微分から得ることもできる。 今、 $f_1(x;n,\alpha)$ を

  $$f_1(x;n,\alpha) = \frac{(-\alpha)^n}{n!}x^ne^{\alpha x} = \frac{(-\alpha x)^n}{n!}e^{\alpha x} \hspace{1zw}(= f_1(\alpha x;n,1))$$ (8)

とすると、

$$\begin{eqnarray*}f_1'(x;k,1) &=& \left\{\frac{(-1)^k}{k!}x^ke^x\right\}' \ =... ...(x;k,1), \\ f_1'(x;0,1) &=& (e^x)' \ =\ e^x \ =\ f_1(x;0,1)\end{eqnarray*}$$

なので、$k=1$ から $k=n$ までの和に $f_1'(x;0,1)=f_1(x;0,1)$ を 追加すれば、

$$\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^n f_1'(x;k,1) &=& f_1'(x;0,1) + \sum_{k=1}^n f_1'(... ...x;0,1) + \sum_{k=1}^n(f_1(x;k,1)-f_1(x;k-1,1)) \ =\ f_1(x;n,1)\end{eqnarray*}$$

となって、これを積分すれば、

  $$\int f_1(x;n,1)dx = \sum_{k=0}^n f_1(x;k,1) + C$$ (9)

が得られる。 これが丁度 (6) になっている。

同様のことを $f_1(x;n,\alpha)$ に行えば、以下のようになる。

$$\begin{eqnarray*}f_1'(x;k,\alpha) &=& \frac{(-\alpha)^k}{k!}(kx^{k-1}e^{\alph... ... x})' \ =\ \alpha e^{\alpha x} \ =\ \alpha f_1(x;0,\alpha)\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\sum_{k=0}^n f_1'(x;k,\alpha) = \alpha f_1(x;n,\alpha)$$

となり、よって、これを積分すれば

  $$\int f_1(x;n,\alpha) dx = \frac{1}{\alpha} \sum_{k=0}^n f_1(x;k,\alpha) + C$$ (10)

が得られる。これが (7) である。