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2.1 微分と代入の順序

まず、1. の $f(x,y)_x$, $f(1,2)_x$ であるが、 これは書いた本人は 「$f(x,y)$ を $x$ で偏微分したもの」、 「それに $(x,y)=(1,2)$ を代入したもの」 というつもりで書いたのだろうと思うが、 特に後の方の式それを表してはいない。

右下に偏微分を表す $x$ をつける場合、 その式の意味は、詳しく言えば次のようになる。

• $f_x(x,y)$: $f$ という名前の関数を、 それを元々定義していた式を $x$ で偏微分して、 その式の最初の変数に $x$ を、後の変数に $y$ を代入したもの
• $f(x,y)_x$ これは、$\{f(x,y)\}_x$ に等しく、 つまり、$f$ という名前の関数の 最初の変数に $x$ を、後の変数に $y$ を代入したものを $x$ で偏微分したもの

ということになる。前者は微分が先でその後に代入、 後者は代入が先でその後が微分、という点が異なる。 一変数関数の場合の $f'(x)$ と $\{f(x)\}'$ の関係と同じである。

この場合、元々 $f$ が $x,y$ の式として定義されていたのなら問題はないが、 もし $f$ が最初に

$$f(t,x)=3t^2-4x^2+3tx$$

とでも定義されていたとすれば、両者の意味は異なることになる。 つまりこの場合、元々の定義式の言う $x$ は第一変数ではなく 第二変数であるから、

$$f_x = f_x(t,x) = -8x+3t$$

となるので、

$$f_x(x,y) = (f_x \mbox{ の $(t,x)$ に $(x,y)$ を代入したもの }) =-8y+3x$$

となるが、

$$f(x,y) = (f \mbox{ の $(t,x)$ に $(x,y)$ を代入したもの }) =3x^2-4y^2+3xy$$

なので、

$$f(x,y)_x = 6x+3y$$

となってしまうからである。

今回の問題の場合は、元々 $f$ が $(x,y)$ の式であったので、 このような誤解はないが、$f(1,2)_x$ はどちらの場合でも明らかな間違いである。 すなわち、

$$f(1,2)_x = \mbox{ ($f(1,2)$ を $x$ で偏微分したもの) } = 0$$

となるからである ($f(1,2)$ は定数)。

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