4 1 以下の勾配への帰着

次に、1 以下の $H$ に帰着させることを考える。 そのためには、公式

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=\frac{1}{\tan\phi}$$ (4)

や、$\tan$ の加法定理

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha... ...alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$ (5)

を用いる。公式 (4) は

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right) =\frac{\sin(\pi/2-\phi)}{\cos(\pi/2-\phi)} =\frac{\cos\phi}{\sin\phi} =\frac{1}{\tan\phi}$$

より得られるし、また $\tan$ の加法定理は、 $\sin$, $\cos$ の加法定理から以下のようにして容易に得られる。

$$\begin{eqnarray*}\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+... ...} %\\ &=& = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\end{eqnarray*}$$

(4) より、 $0<\theta<\pi/2$ に対して ($H>0$)

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =\frac{1}{\tan\theta} =\frac{1}{H}$$

であるから、

$$\frac{\pi}{2}-\theta=\arctan\frac{1}{H}$$ (6)

と求められることになる。 すなわち、 $H>0$ のときは (3) と (6) の どちらを用いても $H$ から $\theta$ を求めることができるので、 $H$ と $1/H$ の小さい方を使って求めればよいことになる。

よって、$H>1$ ならば、$H_2=1/H (<1)$ に対して

$$\theta_2=\arctan H_2$$

とすれば、 $\theta=\pi/2-\theta_2$ として求められるし、 $H\leq 1$ ならそのまま (3) で求めることにすれば、 これで、$\arctan H$ の計算はどちらにしても $0\leq H\leq 1$ の場合に帰着されることになる。 そしてこの場合は $\theta$ は $0\leq\theta\leq\pi/4$ となる。