8.1 例 1

$$A=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ccc}{2}&{-3}&{-6}\\ {3}&{6}&{-2}\\ {6}&{-2}&{3}\end{array}\right]$$

これは、

$$\begin{eqnarray*}49A\,{}^T\!{A} &=& \left[\begin{array}{ccc}{2}&{-3}&{-6}\\ ... ...2-6}\\ {12+6-18}&{18-12-6}&{36+4+9}\end{array}\right] \ =\ 49E\end{eqnarray*}$$

となるので $A$ は直交行列。

$$\left\vert\begin{array}{ccc}{2}&{-3}&{-6}\\ {3}&{6}&{-2}\\ {6}&{-2}&{3}\end{array}\right\vert =36+36+36+216-8+27 = 343 = 7^3$$

なので、$\vert A\vert=1$ となるので、回転変換の行列になっている。

$$A-E=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ccc}{-5}&{-3}&{-6}\\ {3}&{-1}&{-2}\\ {6}&{-2}&{-4}\end{array}\right]$$

より、単位固有ベクトル (回転軸ベクトル) $\mbox{\boldmath$n$}=\,{}^T\!{(n_1,n_2,n_3)}$ は、

$$\left\{\begin{array}{ll} 5n_1+3n_2+6n_3 &=0\\ 3n_1-n_2-2n_3 &=0\\ 6n_1-2n_2-4n_3 &= 0\end{array}\right.$$

を満たすので、$n_1=0$, $n_2+2n_3=0$、よって

  $$\mbox{\boldmath$n$}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}{0}\\ {-2}\\ {1}\end{array}\right]$$ (52)

と取れる。次は、回転角 $\psi$ を計算する。 $\mbox{\boldmath$n$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi,\theta)$ とすると、

$$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}, \hspace{1zw}\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

で、

$$\cos\phi=\frac{n_1}{\cos\theta} = 0, \hspace{1zw} \sin\phi=\frac{n_2}{\cos\theta} = -1 \hspace{1zw}\left(\phi = \frac{3\pi}{2}\right)$$

となる。よって、

$$\mbox{\boldmath$\hat{n}$} = \left[\begin{array}{c}{\cos\phi\sin\... ...=\left[\begin{array}{c}{1}\\ {0}\\ {0}\end{array}\right] = \mbox{\boldmath$i$}$$

となるから、

$$A\mbox{\boldmath$\hat{n}$} = \frac{1}{7\sqrt{5}}\left[\begin{arr... ...\left[\begin{array}{c}{2}\\ {3}\\ {6}\end{array}\right]=\mbox{\boldmath$\ell$}$$

となり、 $m_3=-\cos\psi\cos\theta$, $\ell_3=\sin\psi\cos\theta$ より

  $$\cos\psi=-\,\frac{m_3}{\cos\theta} =\frac{4}{7\sqrt{5}}\,\frac{... ...rac{\ell_3}{\cos\theta} =\frac{6}{7}\,\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$$ (53)

となる。よって、(52) が回転軸 ($yz$ 平面内)、 (53) の $\psi$ ($\in(0,\pi/2)$) が 回転角となる回転変換を表すことになる。

次に、この回転を、$z-y-z$ の軸回転

$$A=A_z(\phi')A_y\left(\frac{\pi}{2}\,-\theta'\right)A_z(\psi')$$

で表現する角を求めてみる。(43) より $\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi',\theta')$ とすれば

$$\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}{-6}\\ {-2}\\ {3}\end{array}\rig... ...os\phi'\cos\theta'}\\ {\sin\phi'\cos\theta'}\\ {\sin\theta'}\end{array}\right]$$

より

  $$\sin\theta'=\frac{3}{7}, \hspace{1zw} \cos\theta'=\sqrt{1-\,\frac{9}{49}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$ (54)

となり、

  $$\cos\phi'=-\,\frac{6}{7}\,\frac{7}{2\sqrt{10}} = -\,\frac{3}{\sq... ...e{1zw} \sin\phi'=-\,\frac{2}{7}\,\frac{7}{2\sqrt{10}} = -\,\frac{1}{\sqrt{10}}$$ (55)

で、(45) より

$$\cos\psi' = -\,\frac{a_3}{\cos\theta'} = -\,\frac{6}{7}\,\,\frac... ...3}{\cos\theta'} -\,\frac{2}{7}\,\frac{7}{2\sqrt{10}} = -\,\frac{1}{\sqrt{10}}$$

となり、よってこの場合は $\phi'=\psi'$ ( $\in(\pi,3\pi/2)$) となる。

なお、 $\phi'-\pi=\bar{\phi}\in(0,\pi/2)$ とすると、 $\cos\bar{\phi}=3/\sqrt{10}$ より、

$$\cos2\bar{\phi}=2\cos^2\bar{\phi}-1=\frac{18}{10}\,-1=\frac{4}{5}$$

となるので、$\bar{\phi}$ は、3:4:5 の直角三角形の最小角の半分になる。