5 さらなる因数分解

(11), (13) の商は、 係数を実数の範囲に広げればもう少し因数分解できる。 本節ではそれを紹介する。

まず、$n=4$ の場合。この場合は、(11) は、

$$\frac{f_4(x)}{x-1} = x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^2+1)$$

となるので、

  $$f_4(x) = x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)$$ (17)

のように因数分解される。 ついでに言えば、$g_4(x)=x^4+1$ は 1 次の因数は持たないが、 実数の範囲で次のように 2 次式の積に因数分解される。

  $$g_4(x) = x^4+1 = (x^2+1)^2 - 2x^2 = (x^2+\sqrt{2}\,x+1)(x^2-\sqrt{2}\,x+1)$$ (18)

次は $n=5$ の場合。

	$$\frac{f_5(x)}{x-1}$$	$=$	$$x^4+x^3+x^2+x+1 \ =\ (x^2+1)^2-x^2+(x^3+x)$$
		$=$	$$(x^2+1)^2+x(x^2+1) - x^2$$	(19)

となるので、$p+q = 1$, $pq = -1$ となる $p$, $q$ を取れば、

	$$(x^2+1)^2+x(x^2+1) - x^2$$	$=$	$$(x^2+1)^2+(p+q)x(x^2+1)+pqx^2$$
		$=$	$$(x^2+1+px)(x^2+1+qx)$$	(20)

と因数分解される。この $p,q$ は $t^2-t-1=0$ の 2 つの解

$$t = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

なので、結局 $f_5(x)$ は

  $$f_5(x) = x^5-1 = (x-1)\left(x^2+\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,x+1\right) \left(x^2+\,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\,x+1\right)$$ (21)

と分解される。$g_5(x)=x^5+1$ は $g_5(x) = -f_5(-x)$ なので、

  $$g_5(x) = x^5 + 1 = (x+1)\left(x^2-\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,x+1\right) \left(x^2-\,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\,x+1\right)$$ (22)

となる。

一般に $f_n(x)=x^n-1$ も $g_n(x)=x^n+1$ も、 実数の範囲で 1 次式、または 2 次式の積の形に因数分解 できることが知られていて、結果のみ示せば以下のようになる。 $n$ が偶数の場合、$n=2m$ とすると

	$$f_{2m}(x)$$	$=$	$$x^{2m}-1 \ =\ (x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}\left(x^2-2x\cos\frac{k}{m}\,\pi + 1\right),$$	(23)
	$$g_{2m}(x)$$	$=$	$$x^{2m}+1 \ =\ \prod_{k=1}^{m}\left(x^2-2x\cos\frac{2k-1}{2m}\,\pi + 1\right)$$	(24)

$n$ が奇数の場合、$n=2m+1$ とすると

	$$f_{2m+1}(x)$$	$=$	$$x^{2m+1}-1 \ =\ (x-1)\prod_{k=1}^{m}\left(x^2-2x\cos\frac{2k}{2m+1}\,\pi + 1\right),$$	(25)
	$$g_{2m+1}(x)$$	$=$	$$x^{2m+1}+1 \ =\ (x+1)\prod_{k=1}^{m}\left(x^2-2x\cos\frac{2k-1}{2m+1}\,\pi + 1\right)$$	(26)

となる。さらに、 $g_{2m+1}(x) = -f_{2m+1}(-x)$ であるから、 $n=5$ のときと同じように $g_{2m+1}(x)$ の因数分解は 以下のようにも書ける。

  $$g_{2m+1}(x) = x^{2m+1}+1 = (x+1)\prod_{k=1}^{m}\left(x^2+2x\cos\frac{2k}{2m+1}\,\pi + 1\right)$$ (27)

なお、これは、

$$\cos\frac{2k-1}{2m+1}\,\pi = -\cos\left(\pi - \frac{2k-1}{2m+1}\,\pi\right) = -\cos\frac{2(m-k+1)}{2m+1}\,\pi$$

より (27) から直接得ることもできる。