1 はじめに

これまで、[1], [2] で、 気体の運動方程式の周期解の存在性やその性質を調べる中で生じた 以下の予想と、それに関する結果を示してきたが、まだその結果は十分ではない。

予想 1.1

• $\phi(x)$, $\psi(x)$ が同じ周期を持つ実数値周期連続関数, $F(u,v)$ が 2 変数の連続関数のとき, $f(x,y)=F(\phi(x+y),\psi(x-y))$ の $x$ に関する基本周期と $y$ に関する基本周期は常に等しい.

この予想に関連して [2] では、 $[a,b]$ 上の連続関数 $G(u)$ と、$[a,b]$ から $[a,b]$ への連続関数 $\eta(u)$、 およびある自然数 $k$ に対して、すべての $u\in[a,b]$ に対して

  $$G(\eta^k(u))=G(u)\hspace{1zw}(\mbox{$\eta^k(u)$\ は $\eta$\ の $k$\ 重合成写像})$$ (1)

が成り立つ場合、$\eta(u)$ が $G(u)$ にどのような制限を与えるかを調べ、 $\eta(u)$ が単調で、$k$ がある条件を満たす場合に $G\circ\eta=G$ または $G\circ\eta^2=G$ が 成り立つことを示し、それによりいくつかの場合に対して 予想 1.1 が成立することを示した。

一方、$\eta$ が単調ではない場合は、同様のことが成り立つかは不明で、 特にカオスを生成する関数として良く知られている

  $$\eta(u) = \phi_1(u) = 4u(1-u)\hspace{1zw}(0\leq u\leq 1)$$ (2)

の場合についてもよくわからない、としていたが、 その後少しわかったこと、考えたことがあるので、それを本稿で報告する。