A 有界変動関数の性質

この節では、有界変動関数に関するの性質のうち、 Glimm の差分法に必要なものを簡単に紹介する。

$\Delta$ を閉区間 $[a,b]$ の分割、すなわち、

$$\Delta: a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$$

とするとき、

$$V(\Delta,f) = \sum_{j=1}^n\vert f(x_j)-f(x_{j-1})\vert, %\label{eq:BV:def_Vdelta}$$ (A.117)

$$P(\Delta,f) = \sum_{j=1}^n(f(x_j)-f(x_{j-1}))_{+}, %\label{eq:BV:def_Pdelta}$$ (A.118)

$$N(\Delta,f) = \sum_{j=1}^n(f(x_j)-f(x_{j-1}))_{-} %\label{eq:BV:def_Ndelta}$$ (A.119)

と定める。ここで、

$$a_{+} = \max\{a,0\},\hspace{1zw}a_{-} = \min\{-a,0\}$$

とする。これに対し、このような $[a,b]$ の分割すべてに対する上限を考え、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f = \sup_{\Delta}V(\Delta,f), %\label{eq:BV:def_TV}$$ (A.120)

$$P_{[a,b]}f = \sup_{\Delta}P(\Delta,f), %\label{eq:BV:def_P}$$ (A.121)

$$N_{[a,b]}f = \sup_{\Delta}N(\Delta,f) %\label{eq:BV:def_N}$$ (A.122)

とし、それぞれ $f$ の全変動、正変動、負変動 と呼ぶ。

開区間や半開区間 $I=(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$ (無限区間 $(-\infty,\infty)$, $(-\infty,b]$, $[a,\infty)$ も含む) に対しては、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _If = \sup_{[c,d]\subset I}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[c,d]} f$$

のように定義し、$P_If$, $N_If$ も同様に定義する。 これらは、より広い区間に対するものの方が値が大きくなるから、例えば

$$\left\{\begin{array}{lll} \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{... ...b-0}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[c,d]}f \end{array}\right.$$ (A.123)

等は容易にわかる。 もちろんこれらは $P_If$, $N_If$ に対しても同様のことが言える。

$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _If<\infty$ である関数 $f$ を、$I$ 上の 有界変動関数 と呼ぶ。

$[a,b]$ の分割 $\Delta$ に対して、その $\Delta$ の分点をすべて含む (よって $\Delta$ より細かい) $[a,b]$ の分割を $\Delta$ の 細分 と呼ぶ。

命題 A.1

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f = P_{[a,b]}f + N_{[a,b]}f$$ (A.124)

証明

まず、

$$\vert x\vert=x_{+}+x_{-},\hspace{1zw}x=x_{+}-x_{-}$$ (A.125)

および、

$$\vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert, \hspace{1zw}... ...{+}\leq x_{+}+y_{+}, \hspace{1zw} (x+y)_{-}\leq x_{-}+y_{-}$$ (A.126)

に注意する。$[a,b]$ の任意の分割 $\Delta$ に対し、 (A.9) より、

$$V(\Delta,f) =P(\Delta,f)+N(\Delta,f) \leq P_{[a,b]}f + N_{[a,b]}f$$

となるので、$\Delta$ の上限をとれば

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f \leq P_{[a,b]}f + N_{[a,b]}f$$ (A.127)

が得られる。一方、$[a,b]$ の分割 $\Delta_1$, $\Delta_2$ に対し、 その共通の細分である、 $\Delta_1$ と $\Delta_2$ の分割点すべてからなる分割を $\Delta_1\cup\Delta_2$ と書くことにすれば、 (A.10) より

$$P(\Delta_1,f)\leq P(\Delta_1\cup\Delta_2,f),\hspace{1zw} N(\Delta_2,f)\leq N(\Delta_1\cup\Delta_2,f)$$

が成り立つので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{P(\Delta_1,f)+N(\Delta_2,f) \leq P(\Delta_1\cup\Delt... ...elta_2,f)} &\leq & \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f \end{eqnarray*}$$

となる。よって、$\Delta_1$, $\Delta_2$ の上限を取れば

$$P_{[a,b]}f + N_{[a,b]}f \leq \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f$$ (A.128)

となるので、(A.11), (A.12) より (A.8) が成り立つ。

系 A.2

開区間、半開区間に対しても以下が成り立つ。

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{(a,b]}f &=& P_{(a,b]}f + N_{(a,... ..._{(a,b)}f \hspace{1zw}(\mbox{$a=-\infty$, $b=\infty$ も含む}) \end{eqnarray*}$$

この系 A.2 は、 (A.7) より容易に示される。

命題 A.3

$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<\infty$ のとき、

$$P_{[a,b]}f - N_{[a,b]}f = f(b)-f(a)$$ (A.129)

証明

命題 A.1 より、 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<\infty$ ならば $P_{[a,b]}f<\infty$, $N_{[a,b]}f<\infty$ となる。よって、任意の $\varepsilon >0$ に対して、$[a,b]$ のある分割 $\Delta_1$, $\Delta_2$ が存在して、

$$P_{[a,b]}f<P(\Delta_1,f)+\varepsilon , \hspace{1zw} N_{[a,b]}f<N(\Delta_2,f)+\varepsilon$$ (A.130)

とできる。今、(A.9) より、

$$P(\Delta,f)-N(\Delta,f) =\sum_{j=1}^n(f(x_j)-f(x_{j-1})) =f(b)-f(a)$$

なので、(A.14) より、

$$\begin{eqnarray*}P_{[a,b]}f - N_{[a,b]}f &<& P(\Delta_1,f)+\varepsilon -N(\D... ...a_2,f)-(N(\Delta_2,f)+\varepsilon ) = f(b)-f(a)-\varepsilon \end{eqnarray*}$$

となる。$\varepsilon$ は任意なので、 よって (A.13) が成り立つ。

命題 A.4

$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<\infty$ のとき、$a\leq x\leq b$ に対して、

$$P_{[a,x]}f,\hspace{1zw}N_{[a,x]}f,\hspace{1zw}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,x]}f$$

はいずれも $x$ に関して単調増加関数で、 $x\pm 0$ への片側極限 (ただし $x=a$ では $x+0$, $x=b$ では $x-0$) が常に存在し、不連続点は高々可算個である。

証明

前半部分は明らか。後半部分は一般の単調増加関数に対して言える。 今、$g(x)$ を $[a,b]$ 上単調増加な関数であるとすると、 単調収束定理により $g(x\pm 0)$ (端点では片側のみ) の存在は明らか。よって、不連続点は

$$g(x-0)<g(x+0)$$

となる $x$ であり、この間には有理数が少なくとも一つ存在する。 つまり、不連続点の個数は $[g(a),g(b)]$ 内の有理数の個数以下であるから 高々可算個。

命題 A.3, A.4、および (A.7) より次の系も容易に得られる。

系 A.5

開区間、半開区間 (無限区間も含む) に対しても、 命題 A.3 と同様に以下が成り立つ。

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{(a,b]}f<\infty &\Rightarrow &... ...infty &\Rightarrow & P_{(a,b)}f - N_{(a,b)}f = f(b-0)-f(a+0) \end{eqnarray*}$$

この系 A.5 も、 (A.7) より容易に示される。

命題 A.6

$f(x)\in C^0([a,b])\cap C^1((a,b))$ で、かつ

$$\sup_{x\in (a,b)}\vert f'(x)\vert\leq M<\infty$$

のとき、 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<\infty$ で、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f = \int_a^b\vert f'(x)\vert dx$$ (A.131)

証明

平均値の定理により、任意の分割 $\Delta$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}V(\Delta,f) &=& \sum_{j=1}^n\vert f(x_j)-f(x_{j-1})\vert = ... ...-1}<\xi_j<x_j) &\leq & M\sum_{j=1}^n(x_j-x_{j-1}) =M(b-a) \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f \leq M(b-a)<\infty$$

が言える。また、この命題の仮定の元 $\vert f'(x)\vert$ はリーマン可積分であり、 任意の分割 $\Delta$ に対し、

$$V(\Delta,f)=\sum_{j=1}^n\vert f'(\xi_j)\vert(x_j-x_{j-1})$$ (A.132)

であるが、今

$$\Vert\Delta\Vert=\max_j\{x_j-x_{j-1}\}$$

と書くことにすると、 $\Vert\Delta_n\Vert\rightarrow 0$ となる分割列 $\{\Delta_n\}_n$ を取ると、 (A.16) とリーマン可積分性により、

$$V(\Delta_n,f)\rightarrow \int_a^b\vert f'(x)\vert dx$$ (A.133)

となる。よって、

$$V(\Delta_n,f)\leq \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f$$

で $n\rightarrow\infty$ とすれば

$$\int_a^b\vert f'(x)\vert dx \leq \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f$$ (A.134)

となる。逆に、 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<\infty$ より、任意の $\varepsilon >0$ に対し、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f<V(\Delta_\varepsilon ,f)+\varepsilon$$

となる分割 $\Delta_\varepsilon$ が取れるが、 これに対し $\Vert\Delta_n\Vert\rightarrow 0$ となる $\Delta_n$ に対し、 $\Delta_\varepsilon \cup\Delta_n$ を考えれば、

$$\Vert\Delta_\varepsilon \cup\Delta_n\Vert\leq\Vert\Delta_n\Vert\rightarrow 0$$

となるので、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f < V(\Delta_\varep... ...lon \leq V(\Delta_\varepsilon \cup\Delta_n,f)+\varepsilon$$

で $n\rightarrow\infty$ とすれば (A.17) より、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f\leq \int_a^b\vert f'(x)\vert dx+\varepsilon$$ (A.135)

が得られる。よって、$\varepsilon$ の任意性と (A.18), (A.19) により (A.15) が成り立つ。

命題 A.7

$a<b<c$ に対し、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f+\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[b,c]}f=\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,c]}f$$ (A.136)

証明

$[a,b]$ の分割 $\Delta_1$, $[b,c]$ の分割 $\Delta_2$ を取ると、 これを合わせて $[a,c]$ の分割ができる。 これを $\Delta_1+\Delta_2$ と書くことにすると、

$$V(\Delta_1,f)+V(\Delta_2,f) =V(\Delta_1+\Delta_2,f) \leq\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,c]}f$$

となるので、$\Delta_1$, $\Delta_2$ の上限を取れば

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f+\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[b,c]}f\leq\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,c]}f$$ (A.137)

となる。一方、$[a,c]$ の分割 $\Delta$ に対し、 $\Delta$ に $b$ を分点として追加した細分を $\Delta'$ とし、 $\Delta'$ を $[a,b]$ の分割 $\Delta_1$ と $[b,c]$ の分割 $\Delta_2$ に分けて $\Delta_1+\Delta_2=\Delta'$ とすると、

$$V(\Delta,f) %&\leq & \leq V(\Delta',f) = V(\Delta_1,f)... ...}}\nolimits _{[a,b]}f+\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[b,c]}f$$

となるので、$\Delta$ に関する上限を取れば

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,c]}f\leq\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a,b]}f+\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[b,c]}f$$ (A.138)

となるので、(A.21), (A.22) より (A.20) が成り立つ。

命題 A.7 より、以下の 2 つの系も容易に得られる (よって証明は省略する)。

系 A.8

開区間、半開区間に対しても以下が成り立つ。

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{(a,c]}f &=& \mathop{\mathrm{TV}... ..._{[b,c)}f \hspace{1zw}(\mbox{$a=-\infty$, $c=\infty$ も含む}) \end{eqnarray*}$$

系 A.9

任意の $a$ と $b>0$ に対して、

$$\sum_{k=-\infty}^\infty \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[a+(k-1)b,a+kb]}f = \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf$$

命題 A.10

$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf<\infty$ のとき、任意の $A>0$ に対し、

$$\int_R\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f dx\leq 2A\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf$$ (A.139)

証明

まず、 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf<\infty$ より、系 A.8 から $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f$ は

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f = \mathop{\math... ...nfty,x+A]}f - \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{(-\infty,x-A]}f$$

と有界な単調増加関数の差と書けるので、 これは $x$ に関して Lebesgue 可測関数となる。 任意の $B>0$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_R\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f dx ... ...fty}^\infty\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[mB-A,mB-A+(2A+B)]}f \end{eqnarray*}$$

となるが、ここで

$$m_0-1<\frac{2A+B}{B}\leq m_0$$ (A.140)

となる自然数 $m_0$ を取ると、$2A+B\leq m_0B$ より

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[mB-A,mB-A+(2A+B)]}f \leq \mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[mB-A,(m+m_0)B-A]}f$$

であり、よって、

$$\int_R\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f dx \leq... ...ty}^\infty\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[mB-A,(m+m_0)B-A]}f$$ (A.141)

となるが、系 A.9 より、

$$\sum_{m\equiv j \pmod{m_0}}\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[mB-A,(m+m_0)B-A]}f=\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R f$$

であるので、(A.25) の右辺は、 $m_0B\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf$ に等しく、 (A.24) より $m_0B<2A+2B$ となるので、結局、

$$\int_R\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{[x-A,x+A]}f dx \leq (2A+2B)\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _Rf$$

となる。$B$ は任意なので、 よって (A.23) が成り立つ。