4.3 相互作用がある場合

次は近づく波が含まれ、相互作用がある場合を考える。 以後、この節では簡単のため、$N=2$ の場合に限定して証明を行う。 一般の $N$ の場合の証明は、[Yong], [Dafermos] などを参照のこと。

$N=2$ の場合は、

$$\varepsilon =\beta(\gamma,\delta;U_L) =\beta(\gamma_1,\gamma_2,\delta_1,\delta_2;U_L)$$ (4.37)

であり、これを $\gamma=0$, $\delta=0$ に関してテイラー展開する。

まず、$\gamma=0$ のときは $U_M=T(0;U_L)=U_L$ なので、 $\delta=\alpha(U_M,U_R)=\alpha(U_L,U_R)$ となり、 よって、

$$\beta(0,\delta;U_L)=\delta$$ (4.38)

となる。また、$\delta=0$ のときは、 $U_R=T(0;U_M)=U_M$ なので、 $\gamma=\alpha(U_L,U_M)=\alpha(U_L,U_R)$ より

$$\beta(\gamma,0;U_L)=\gamma$$ (4.39)

であることがわかる。 よって、(4.8) を展開すると その 1 次の項は $\gamma+\delta$ となる。 そして、(4.9), (4.10) より

$$\varepsilon -\gamma-\delta =\beta(\gamma,\delta;U_L)-\beta(\gamma,0;U_L)-\beta(0,\delta;U_L)$$

と書けるが、この右辺を次のように分ける:

$${\varepsilon -\gamma-\delta =A_1+A_2+A_3+A_4},$$

$$A_1 = \beta(\gamma_1,\gamma_2,\delta_1,\delta_2) -\beta(\gamma_1,\gamma... ...elta_1,\delta_2) +\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2),%\label{eq:interaction:A1_def}$$ (4.41)

$$A_2 = \beta(\gamma_1,\gamma_2,0,\delta_2) -\beta(\gamma_1,\gamma_2,0,0)... ...(\gamma_1,0,0,\delta_2) +\beta(\gamma_1,0,0,0),%\label{eq:interaction:A2_def}$$ (4.42)

$$A_3 = \beta(\gamma_1,0,\delta_1,\delta_2) -\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2)... ...(0,0,\delta_1,\delta_2) +\beta(0,0,0,\delta_2),%\label{eq:interaction:A3_def}$$ (4.43)

$$A_4 = \beta(\gamma_1,0,0,\delta_2) -\beta(\gamma_1,0,0,0) -\beta(0,0,0,\delta_2) +\beta(0,0,0,0) %\label{eq:interaction:A4_def}$$ (4.44)

しかし、 $\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2)$ の波はすべて近づかないので、 補題 4.3 より、

$$\beta(\gamma_1,0,0,\delta_2)= {}^T\!(\gamma_1,\delta_2)$$

となり、よって (4.9), (4.10) より $A_4$ は

$$A_4 = {}^T\!(\gamma_1,\delta_2)- {}^T\!(\gamma_1,0)- {}^T\!(0,\delta_2)+0 =0$$ (4.45)

となる。

$A_1$ は、

$$\begin{eqnarray*}A_1 &=& \left[\beta(\gamma_1,\gamma_2,\tau\delta_1,\delta_2) ... ...igma\gamma_2,\tau\delta_1,\delta_2)d\sigma d\tau \gamma_2\delta_1\end{eqnarray*}$$

と変形できるので、 $U_L,U_M,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U})$ に対して、

$$\sup_{U_L,U_M,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U}), 0\leq a... ...,a_2\gamma_2,a_3\delta_1,a_4\delta_2; U_L)\right\vert \leq M_3$$

とすると、

$$\vert A_1\vert\leq M_3\vert\gamma_2\vert \vert\delta_1\vert$$ (4.46)

と評価できる。

$A_2$ は、$\gamma_2$ と $\delta_2$ が近づかなければ、 補題 4.3 より

$$A_2 = {}^T\!(\gamma_1,\gamma_2+\delta_2) - {}^T\!(\gamm... ...mma_2) - {}^T\!(\gamma_1,\delta_2) + {}^T\!(\gamma_1,0) =0$$ (4.47)

であり、近づく場合は $A_1$ と同様に

$$\vert A_2\vert = \left\vert \int_0^1\int_0^1\frac{\partial... ..._2 \right\vert \leq M_3\vert\gamma_2\vert \vert\delta_2\vert$$ (4.48)

となる。同様に $A_3$ も、$\gamma_1$ と $\delta_1$ が近づかなければ、

$$A_3 = {}^T\!(\gamma_1+\delta_1,\delta_2) - {}^T\!(\gamm... ...lta_2) - {}^T\!(\delta_1,\delta_2) + {}^T\!(0,\delta_2) =0$$ (4.49)

近づく場合は、$A_1$ と同様に

$$\vert A_3\vert = \left\vert \int_0^1\int_0^1\frac{\partial... ..._1 \right\vert \leq M_3\vert\gamma_1\vert \vert\delta_1\vert$$ (4.50)

となるので、 (4.11),(4.16), (4.17), (4.18), (4.19), (4.20), (4.21) により、結局定理 4.1 が得られることになる。

なお、[Yong] には $\nabla^2\beta(0,0)$ を求めることにより、 (4.1) よりも詳しい評価式

$$\varepsilon = \gamma+\delta + \sum_{i>j}\gamma_i\delta_j A_0(U_L)^{-1} (\nabla_Ur_i\cdot r_j-\nabla_Ur_j\cdot r_i)(U_L)$$

$${}+D(\gamma,\delta)O(\vert\gamma\vert+\vert\delta\vert) \hspace{1zw}(A_0(U)=[r_1,\ldots,r_N](U))$$ (4.51)

が示されている。 この (4.22) によれば、 2 次の項は $i>j$ の波の相互作用のみであり、 $i=j$ で近づく波 (同じ特性方向の波) の相互作用の影響は 実際には 3 次以上の項であることがわかる。