3 必要なエントロピーと非整数階微分

Darboux エントロピーで重要なものは、 まずは $\phi(s)$ を $\delta(s-a)$ に 近づけた極限として得られる核エントロピー $(\eta^{(0)},q^{(0)})$ と、 $-\delta'(s-a)$ に近づけた極限 $(\eta^{(1)},q^{(1)})$ である。

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta^{(0)} &= (w-a)^\tau(a-z)^\tau X_0... ...)}+\sigma^{(0)},\\ \sigma^{(0)} &= -\theta(w-a)\eta^{(0)} \end{array}\right.$$ (8)

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta^{(1)} &= \tau(w-a)^{\tau-1}(a-z)^... ...\\ \sigma^{(1)} &= \theta\eta^{(0)}-\theta(w-a)\eta^{(1)} \end{array}\right.$$ (9)

ここで、 $X_0 = X_0(w,z;a)$ は

  $$X_0(w,z;a) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\mbox{$z< a<w$\ のとき})\\ 0 & (\mbox{それ以外}) \end{array}\right.$$ (10)

である。

なお、 $1<\gamma \leq 5/3$ は $\tau\geq 1$ に、 $5/3<\gamma\leq 2$ は $1/2\leq \tau <1$ に、 そして $2<\gamma<3$ は $0<\tau<1/2$ にそれぞれ対応し、 $0<\tau<1$ では $(\eta^{(1)},q^{(1)})$ には特異性が現れ、 よって Young 測度の適用には注意が必要になる。

また、 $\phi_0(s)\in\mathcal{S}$ (= 急減少関数の族) と取り、 $\psi_n(s) = n\psi_0(n(s-a))$ に対し、 $\phi(s)$ として $\psi_n(s)$ の $\tau+1$ 回微分

  $$\phi(s)=D^{\tau+1}\psi_n(s)$$ (11)

としたものに対する Darboux エントロピー対を $(\eta_n, q_n)$、 $\sigma_n = q_n-\lambda_2\eta_n$ とする。

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta_n &= \displaystyle \int_z^w(w-s)^... ...ta\int_z^w(w-s)^{\tau+1}(s-z)^{\tau} D^{\tau+1}\psi_n(s)ds \end{array}\right.$$ (12)

同様に、別の $\mathcal{S}$ の関数 $\hat{\psi_0}(s)$ から 同じやり方で作ったものを $(\hat{\eta}_n,\hat{q}_n)$, $\hat{\sigma}_n$ とする。

ここで、(11) の $\tau+1$ 階微分について説明する。 $x\rightarrow -\infty$ で十分早く減衰する $R$上の関数 (例えば $\mathcal{S}$ の元) $f(x)$ と、 任意の正数 $\alpha$ ($>0$) に対して、 $f(x)$ の $\alpha$ 階積分 $T_\alpha[f]$ を、

  $$T_\alpha[f](x) = \frac{1}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha)}\int_{-\infty}^x (x-y)^{\alpha-1} f(y) dy$$ (13)

と定義し ( $\mathop{\mathit{\Gamma}}(x)$ はガンマ関数)、 $\alpha\leq 0$ に対しては $m+\alpha>0$ となる自然数 $m$ をとり

  $$T_\alpha[f](x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^m T_{\alpha+m}[f](x)$$ (14)

と定める。この定義が矛盾ないことや、通常の整数回の積分の 拡張になっていることは、$T_\alpha$ が満たす次の性質からわかる。

1. 任意の $\alpha,\beta$ に対して
   $$T_\alpha[T_\beta[f]] = T_{\alpha+\beta}[f]$$
2. 任意の自然数 $n$ に対して
   $$\left(\frac{d}{dx}\right)^n T_{\alpha}[f] = T_{\alpha-n}[f] = T_{\alpha}[f^{(n)}]$$
3. $$T_1[f] = \int_{-\infty}^x f(x)dx, \hspace{1zw}T_0[f] = f(x), \hspace{1zw}T_{-n}[f] = f^{(n)} \ (\mbox{$n$\ は自然数})$$

そして、実数 $\alpha$ に対して $\alpha$ 階の微分 $D^\alpha f$ を

  $$D^\alpha f(x) = T_{-\alpha}[f](x)$$ (15)

と定める。

非正数の $\tau$ ($>0$) に対しては、$\tau$ を整数部分 $[\tau]$ と 小数部分 $(\tau)$ に分けると、 $D^{\tau+1}\psi(s)$ は、

$$\begin{eqnarray*}D^{\tau+1}\psi(s) &=& T_{-\tau-1}[\psi] \ =\ T_{-[\tau]-1-... ...}(1-(\tau))}\int_{-\infty}^s(s-t)^{-(\tau)} \psi^{[\tau]+2}(t)dt\end{eqnarray*}$$

と書ける。これにより、(12) の $\eta_n$ は、

  $$\eta_n = \frac{1}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}\int_z^w(w-s)^\tau(s-z)^\tau ds \int_{-\infty}^s(s-t)^{-(\tau)}\psi_n^{[\tau]+2}(t)dt$$ (16)

となる。ここで、積分の順序交換により、

$$\int_z^w ds\int_{-\infty}^s dt = \int_{-\infty}^z dt\int_z^w ds + \int_z^w dt\int_t^w ds$$

となるので、(16) は、

  $$\eta_n = \frac{1}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}\int_{-\infty}^w \psi_n^{[\tau]+2}(t) f_0(t)dt$$ (17)

となる。ここで $f_0(t)$ は、

$$f_0(t) = \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \int_z^w(w-s)^{... ...e \int_t^w(w-s)^{\tau}(s-z)^{\tau}(s-t)^{-(\tau)}ds & (z<t<w)\end{array}\right.$$

とした。 超幾何関数に関する考察 [4] でとりあげた $H_{\pm}$ を用いて、 $H(x;\alpha,\beta,\gamma)$ を

	$$H(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$\left\{\begin{array}{ll} H_{+}(x;\alpha,\beta,\gamma) & (x>1),\\ H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma) & (0<x<1) \end{array}\right.$$
		$=$	$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \int_0^1 y^{\alpha-1}(1-y)... ...\int_0^x y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}(x-y)^{\gamma} & (0<x<1) \end{array}\right.$$	(18)

と書くことにすれば、$-\infty<t<z$ では、$(w-s)/(w-z)=y$ により

$$\begin{eqnarray*}f_0(t) &=& \int_z^w(w-s)^{\tau}(s-z)^{\tau}(s-t)^{-(\tau)}ds... ...\tau]+1}H_{+}\left(\frac{w-t}{w-z};\tau+1,\tau+1, -(\tau)\right)\end{eqnarray*}$$

$z<t<w$ では

$$\begin{eqnarray*}f_0(t) &=& \int_t^w(w-s)^{\tau}(s-z)^{\tau}(s-t)^{-(\tau)}ds... ...\tau]+1}H_{-}\left(\frac{w-t}{w-z};\tau+1,\tau+1, -(\tau)\right)\end{eqnarray*}$$

なので、

$$f_0(t) = (w-z)^{\tau+[\tau]+1} H\left(\frac{w-t}{w-z};\tau+1,\tau+1, -(\tau)\right)$$

となる。よって (17) は、$(w-t)/(w-z)=x$ により

	$$\eta_n$$	$=$	$$\frac{(w-z)^{\tau+[\tau]+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}\... ...}^w \psi_n^{[\tau]+2}(t) H\left(\frac{w-t}{w-z};\tau+1,\tau+1, -(\tau)\right)dt$$
		$=$	$$\frac{(w-z)^{\tau+[\tau]+2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}\int_0^{\infty} \psi_n^{[\tau]+2}(w-(w-z)x) H(x;\tau+1,\tau+1,-(\tau))dx$$
		$=$	$$\frac{(w-z)^{\tau}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}\int_0^{\infty} (-1)^{[\tau]+2}\Psi_n^{[\tau]+2}(x) H(x;\tau+1,\tau+1,-(\tau))dx$$	(19)

と書けることになる。ここで、 $\Psi_n(x)=\psi_n(w-(w-z)x)$ とした。

同様に $\sigma_n$ は、

  $$\sigma_n = -\theta\frac{(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma... ...t_0^{\infty} (-1)^{[\tau]+2}\Psi_n^{[\tau]+2}(x) H(x;\tau+2,\tau+1,-(\tau))dx$$ (20)

と書ける。これらの部分積分を行って 積分の中の $\psi_n$ の微分をなくせば、 それは (12) を「$\tau+1$ 回」 部分積分したことに対応する。 そのような表示を求めるために、前の考察 [4] から 必要な $H$ の性質、境界評価などを改めて取り出す。

命題 1

以下 $k=1,2$, $\ell=1,2$ とし、 $H_{k,\ell,j}(x)=H(x;\tau+k,\tau+\ell,-(\tau)-j)$ と する ($\tau$ は非整数)。

1. $\alpha>0$, $\beta>0$ で非整数の $\alpha,\beta,\gamma$ に対して 次が成り立つ。
   $$\left\{\begin{array}{l} H(x;\alpha+1,\beta,\gamma)+H(x;\alpha,\b... ...ma)+H(x;\alpha,\beta,\gamma+1) =xH(x;\alpha,\beta,\gamma) \end{array}\right.$$
   $H_{k,\ell,j}(x)$ で言えば、これらは
   $$\left\{\begin{array}{l} H_{k+1,\ell,j}(x)+H_{k,\ell+1,j}(x)=H_{k... ...,\\ H_{k+1,\ell,j}(x)+H_{k,\ell,j-1}(x)=xH_{k,\ell,j}(x) \end{array}\right.$$
   となる。
2. $H_{k,\ell,0}(x)$ ( $=H(x;\tau+k,\tau+\ell,-(\tau))$) の 導関数は、
   $$\left(\frac{d}{dx}\right)^jH_{k,\ell,0}(x) = c_jH_{k,\ell,j}(x)$$
   となる ($j\geq 1$)。 ここで、$c_j$ は $k$ にはよらない定数で
     $$c_j = \left[\begin{array}{c}-(\tau)\\ j\end{array}\right] = (-(\tau))(-(\tau)-1)\cdots(-(\tau)-j+1).$$ (21)
3. $x\rightarrow\infty$ に対しては
   $$H_{k,\ell,j}(x) =x^{-(\tau)-j}(\mathop{\mathit{B}}(\tau+k,\tau+\ell)+o(1))$$
   となる ( $0\leq j\leq [\tau]+2$)。 よって $j\geq 0$ なら $H_{k,\ell,j}(\infty)=0$ で、 $j\geq 1$ なら $x\rightarrow\infty$ では $L^1$ となる。
4. $x\rightarrow +0$ に対しては
   $$\begin{eqnarray*}H_{k,\ell,j}(x) &=& \left\{\begin{array}{ll} x^{[\tau]+k-j}(... ...B}}((\tau),1-(\tau))+o(1)) & (j=[\tau]+k+1) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
   となる ( $0\leq j\leq [\tau]+2$)。 よって $H_{k,\ell,j}(+0)$ はいずれも有限値で、 $j<[\tau]+k$ なら $H_{k,\ell,j}(+0)=0$ となる。
5. $x\rightarrow 1+0$ に対しては、 $j\leq [\tau]+\ell-1$ のときは
   $$H_{k,\ell,j}(x) = \mathop{\mathit{B}}(\tau+k,[\tau]+\ell-j)+o(1),$$
   $j=[\tau]+\ell$ のときは
   $$H_{k,\ell,j}(x) = -\log(x-1)+M(\tau+k)+M(\tau+\ell)+o(1)$$
   $j=[\tau]+\ell+1$ のときは
   $$\begin{eqnarray*}H_{k,\ell,j}(x) &=& \frac{1}{\tau+\ell}\,\frac{1}{x-1} +(\... ...right.\\ &&\hspace{0.5zw}\left. -M(\tau+\ell+1)-1\right\}+o(1) \end{eqnarray*}$$
   となる。
6. $x\rightarrow 1-0$ に対しては、 $j\leq [\tau]+\ell-1$ のときは
   $$H_{k,\ell,j}(x) = \mathop{\mathit{B}}(\tau+k,[\tau]+\ell-j)+o(1),$$
   $j=[\tau]+\ell$ のときは
   $$H_{k,\ell,j}(x) = -\log\vert x-1\vert+M(\tau+k)+M(1-\tau-\ell)+o(1)$$
   $j=[\tau]+\ell+1$ のときは
   $$\begin{eqnarray*}H_{k,\ell,j}(x) &=& \frac{1}{\tau+\ell}\,\frac{1}{x-1} +(\... ...\right.\\ &&\hspace{0.5zw}\left. -M(-\tau-\ell)-1\right\}+o(1) \end{eqnarray*}$$
   となる。

なお、この命題 1 に出てくる $H(x;\alpha,\beta,\gamma)$ ($\alpha>0$, $\beta>0$, $\alpha,\beta,\gamma$ は非整数) の形の式は、 $\gamma<-1$ の場合は (18) の $H_{-}$ の積分は収束しないが、 それについては前に [4] で考察した自然な拡張 (解析接続) を 意味するとする。 また、 $\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha)$, $\mathop{\mathit{B}}(\alpha,\beta)$ で $\alpha<0$, $\beta<0$ (で非整数) の場合も、解析接続による値と考える。 すなわち、$\alpha<0$, $\alpha\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ に対しては、

$$\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha) =\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha+1)}{\alpha}$$

によって帰納的に定義したもの、 すなわち $-n<\alpha<-n+1$ となる自然数 $n$ に対して、

$$\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha) =\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(... ...=\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha+n)}{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)}$$

と考え、$\alpha<0$ や $\beta<0$ に対しては

$$\mathop{\mathit{B}}(\alpha,\beta) = \frac{\mathop{\mathit{\Gamma... ...alpha)\mathop{\mathit{\Gamma}}(\beta)}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha+\beta)}$$

によって定める。 また、$M(\alpha)$ は前の考察 [4] で導入したものだが、 追加の基本的な性質も含めてあらためて説明する。 $M(\alpha)$ は、$\alpha>0$ に対しては

  $$M(\alpha)=\int_0^1\frac{(1-y)^{\alpha-1}-1}{y}dy$$ (22)

で定義され、性質

  $$M(\alpha+1)=M(\alpha)-\frac{1}{\alpha}\hspace{1zw}(\alpha>0)$$ (23)

により、$\alpha<0$, $\alpha\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ に対しては

$$M(\alpha) =M(\alpha+1)+\frac{1}{\alpha}$$

によって帰納的に定義したもの、 すなわち $-n<\alpha<-n+1$ となる自然数 $n$ に対して、

  $$M(\alpha) =M(\alpha+n)+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\alpha+k-1}$$ (24)

とする (解析接続)。

補題 2

$M(\alpha)$ は以下の性質を満たす。

1. $M(1)=0$, $$M(n)=-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$$ ( $n\in\mbox{\boldmath$N$}$)
2. $\alpha>0$ では $M(\alpha)$ は減少関数で、 $M(\infty)=-\infty$, $M(+0)=\infty$
3. $\alpha<0$ では、 各 $n\in\mbox{\boldmath$N$}$ に対して $-n<\alpha<-n+1$ では $M(\alpha)$ は 減少関数で、 $M(-n+0)=\infty$, $M(-n+1-0)=-\infty$
4. $\tau=m+1/2$ ( $m=0,1,2,\ldots$) に対して $M(\tau+1)-M(-\tau)=0$ となり、 逆にそれ以外の $\tau>0$ では $M(\tau+1)-M(-\tau)$ は 0 には ならない。

証明

1. 定義 (22)、性質 (23) より明らか。

2. 単調性は $(1-y)^{\alpha-1}$ の単調性から明らか。$M(\infty)$ は、 $\alpha\rightarrow\infty$ に対して

$$M(\alpha)\leq M([\alpha])=-\sum_{k=1}^{[\alpha]-1}\frac{1}{k} \rightarrow-\infty$$

より $M(\infty)=-\infty$ が言える。 $M(+0)$ については、$0<\alpha<1$ では $(1-y)^{\alpha-1}>1$ なので積分範囲の一部分が $\infty$ に 発散することを示せばよいが、 $\alpha\rightarrow+0$ に対して

$$\int_{1/2}^1\frac{(1-y)^{\alpha-1}-1}{y}dy > \int_{1/2}^1\{(1-y)^{\alpha-1}-1\}dy =\frac{1}{\alpha 2^{\alpha}}-\frac{1}{2} \rightarrow\infty$$

なので、$M(+0)=\infty$ となる。

3. $-n<\alpha<-n+1$ に対しては $M(\alpha)$ は (24) で あり、その右辺の項はすべて $\alpha$ に対して減少するから $M(\alpha)$も減少関数。 また、その極限も (24) より

$$\begin{eqnarray*}\lim_{\alpha\rightarrow -n+0}{M(\alpha)} &=& \lim_{\alpha\rig... ...\alpha\rightarrow -n+1-0}{\frac{1}{\alpha+n-1}} \ =\ -\infty \end{eqnarray*}$$

となる。

4. 3. より各 $n\in\mbox{\boldmath$N$}$ に対し $n-1<\tau<n$ ( $n\in\mbox{\boldmath$N$}$) では $M(\tau+1)-M(-\tau)$ は減少関数で、 $\tau\rightarrow n-1+0$ では $\infty$ で、 $\tau\rightarrow n-0$ では $-\infty$ となるので、その間で一度だけ 0 になる。そして $\tau=n-1/2$ では、 (23), (24) より

$$\begin{eqnarray*}M(\tau+1) &=& M\left(n+\frac{1}{2}\right) =M\left(\frac{1}{2... ...frac{1}{2}\right) -\sum_{k=1}^n\frac{2}{2k-1} \ =\ M(\tau+1) \end{eqnarray*}$$

となる。

さて、命題 1 より、 $H_{k,1,0}(x)$ ($k=1,2$) の 0 階から $[\tau]$ 階までの導関数 $c_jH_{k,1,j}(x)$ ( $0\leq j\leq [\tau]$) について、

• $H_{k,1,j}(\infty)=0$, $H_{k,1,j}(+0)=0$
• $H_{k,1,j}(x)$ は $x=1$ で連続 ( $H_{k,1,j}(1+0)=H_{k,1,j}(1-0)$)

となることがわかるので、 (19), (20) に $[\tau]+1$ 回の部分積分を 実行すれば、

	$$\eta_n$$	$=$	$$\frac{c_{[\tau]+1}(w-z)^{\tau}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))} \int_0^{\infty}(-\Psi_n'(x)) H_{1,1,[\tau]+1}(x)dx$$	(25)
	$$\sigma_n$$	$=$	$$-\theta\frac{c_{[\tau]+1}(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))} \int_0^{\infty}(-\Psi_n'(x)) H_{2,1,[\tau]+1}(x)dx$$	(26)

となる。ここで、(21)、および $\mathop{\mathit{\Gamma}}$ の解析接続によって これらの係数は

$$\frac{c_{[\tau]+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))} =\frac{(-... ...mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))} =\frac{1}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)}$$

と表すことができる。(25) に対する最後の部分積分では、

	$$\eta_n$$	$=$	$$\frac{(w-z)^{\tau}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)} \lim_{\varep... ...}^\infty +\left[-\Psi_n(x)H_{1,1,[\tau]+1}(x)\right]_0^{1-\varepsilon }\right.}$$
			$$-(\tau+1)\left.\left(\int_0^{1-\varepsilon }+\int_{1+\varepsilon }^\infty\right) \Psi_n(x)H_{1,1,[\tau]+2}(x)dx\right\}$$	(27)

となるが、境界値は、0 と $\infty$ では命題 1 より

$$H_{1,1,[\tau]+1}(\infty)=0, \hspace{1zw}H_{1,1,[\tau]+1}(+0)=\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau)$$

であり、$x=1\pm 0$ では、

$$\chi_{+}(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (x>1),\\ 0 & (x<1),... ..._{+}(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & (x>1),\\ 1 & (x<1)\end{array}\right.$$

を用いて

$$H_{1,1,[\tau]+1}(x) = -\log\vert x-1\vert+M(\tau+1)+M(\tau+1)\chi_{+}+M(-\tau)\chi_{-}+o(1)$$

と表せる。これにより、(27) の境界部分の極限は、

	$${ \lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{\left\{ \left[-\Psi_n(x)H_{1,... ...\infty +\left[-\Psi_n(x)H_{1,1,[\tau]+1}(x)\right]_0^{1-\varepsilon }\right\}}}$$
		$=$	$$\Psi_n(0)\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau) +\lim_{\varepsilon \ri... ...[\Psi_n(x)H_{1,1,[\tau]+1}(x)\right]_{1-\varepsilon }^{1+\varepsilon }\right\}}$$
		$=$	$$\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau)\psi_n(w) +\lim_{\varepsilon \ri... ...{\left\{(\Psi_n(1)+O(\varepsilon ))(-\log\varepsilon +2M(\tau+1)+o(1)) \right.}$$
			$$\left.-(\Psi_n(1)+O(\varepsilon ))(-\log\varepsilon +M(\tau+1)+M(-\tau)+o(1))\right\}$$
		$=$	$$\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau)\psi_n(w) +(M(\tau+1)-M(-\tau))\psi_n(z)$$
		$=$	$$A_\tau\psi_n(z)+B_\tau\psi_n(w)$$	(28)

となる。ここで、

  $$A_{\tau}=M(\tau+1)-M(-\tau), \hspace{1zw}B_\tau=\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau)$$ (29)

とした。 なお $\tau\not\in\mbox{\boldmath$N$}$ より $B_\tau$ は有限値でかつ 0 にはならないが、 $A_\tau$ は補題 2 より 0 になることもある。

(27) の積分部分は、 $H_{1,1,[\tau]+2}$ の $x=1$ の近くでの特異性、すなわち

	$${H_{1,1,[\tau]+2}(x) \ =\ \frac{1}{\tau+1}\frac{1}{x-1} + \tau(\log\vert x-1\vert-M(\tau)-1)}$$
			$$-\tau(M(\tau+2)\chi_{+}+M(-\tau-1)\chi_{-})+o(1)$$	(30)

を $H_{1,1,[\tau]+2}$ から分離するために、 次のような $\xi(x)\in C_0^\infty$ (= コンパクト台を持つ無限回微分 可能関数の族) をひとつ取る。

• $\xi(1-x)=\xi(1+x)$ ($x>0$)
• $0\leq\xi(x)\leq 1$ ( $x\in\mbox{\boldmath$R$})$
• $\vert x-1\vert\leq 1/4$ では $\xi(x)=1$、$\vert x-1\vert\geq 1/2$ では $\xi(x)=0$

それに対して、 $F_0(x)=H_{1,1,[\tau]+2}(x)$ とし、 ここから $x=1$ での特異性を取り去ったものを $\bar{F}_0(x)$ とする:

  $$\bar{F}_0(x) = F_0(x) -\xi(x)\left(\frac{1}{\tau+1}\frac{1}{x-1} + \tau\log\vert x-1\vert\right)$$ (31)

このとき、命題 1 より

  $$\begin{array}{l} \bar{F}_0(x) = x^{-\tau-2}(\mathop{\mathit{B}}... ...au)+M(\tau+2)+1),\\ \bar{F}_0(1-0) = -\tau(M(\tau)+M(-\tau-1)+1) \end{array}$$ (32)

なので、$\bar{F}_0(x)$ は $x=1$ 以外では連続で、$x>0$ で有界かつ可積分、となる。 よって (27) の積分部分は

	$${\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{ \left(\int_0^{1-\varepsilon }+\int_{1+\varepsilon }^\infty\right) \Psi_n(x)H_{1,1,[\tau]+2}(x)dx}}$$
		$=$	$$\int_0^\infty\Psi_n(x)\bar{F}_0(x)dx + \tau\int_0^\infty\Psi_n(x)\xi(x)\log\vert x-1\vert dx$$
			$$+ \frac{1}{\tau+1}\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{ \left(\int_0... ...varepsilon }+\int_{1+\varepsilon }^\infty\right)\Psi_n(x) \frac{\xi(x)}{x-1}dx}$$	(33)

と分離できる。ここで、関数 $g(x)$, $a<b<c$ に対し、一般に

  $$\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{\left(\int_a^{b-\varepsilon }+... ...\right) \frac{g(x)}{x-b}dx} =\mathop{\mathrm{p.v.}}\int_a^c\frac{g(x)}{x-b}dx$$ (34)

と書き、 $g(x)/(x-b)$ の主値積分と呼ぶ。 この主値積分は一般には有限とは限らないが、 $b$ の近くで滑らかな $g(x)$ に対しては、

	$${\mathop{\mathrm{p.v.}}\int_a^c\frac{g(x)}{x-b}dx \ =\ \lim_{\va... ...+\varepsilon }^c\right) \left(\frac{g(x)-g(b)}{x-b}+\frac{g(b)}{x-b}\right)dx}}$$
		$=$	$$\int_a^c\frac{g(x)-g(b)}{x-b}dx + g(b)\log\frac{c-b}{b-a}$$	(35)

のように極限を用いない形で表すこともでき、 収束することが保証される。

これにより、結局 $\eta_n$ は、

	$$\eta_n$$	$=$	$$\frac{(w-z)^\tau}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)} \left\{A_\tau\psi_n(z)+B_\tau\psi_n(w) -(\tau+1)\int_0^\infty\Psi_n(x)\bar{F}_0(x)dx \right.$$
			$$\left. -\tau(\tau+1)\int_0^\infty\Psi_n(x)\xi(x)\log\vert x-1\vert dx -\mathop{\mathrm{p.v.}}\int_0^\infty\Psi_n(x)\frac{\xi(x)}{x-1}dx\right\}$$	(36)

と書けることになる。

なお、(32) の $\bar{F}_0(+0)$、 および $x=1$ での段差は、

	$${\mathop{\mathit{B}}((\tau),1-(\tau)) \ =\ \frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}((\tau))\mathop{\mathit{\Gamma}}(1-(\tau))}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(1)}}$$
		$=$	$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\tau+1)}{((\tau))((\tau)+1)((\tau)... ...s \tau} \times(-(\tau))(-(\tau)-1)\cdots (-\tau)\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)$$
		$=$	$$(-1)^{[\tau]+1}\mathop{\mathit{B}}(\tau+1,-\tau) \ =\ (-1)^{[\tau]+1}B_\tau,$$	(37)
	$${M(\tau+2)-M(-\tau-1) \ =\ M(\tau+1)-\,\frac{1}{\tau+1} -\left(M(-\tau)+\frac{1}{-\tau-1}\right)}$$
		$=$	$$A_\tau$$	(38)

より

  $$\bar{F}_0(+0) = \tau B_\tau, \hspace{1zw}\left[\bar{F}_0(x)\right]_{1-0}^{1+0} = -\tau A_\tau$$ (39)

となることに注意する。

同様に $\sigma_n$ も、

$$\sigma_n = -\theta\frac{(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)}\int_0^{\infty} (-\Psi_n'(x)) H_{2,1,[\tau]+1}(x)dx$$

の部分積分を行うと

$$\begin{eqnarray*}\sigma_n &=& -\theta\frac{(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Ga... ...arepsilon }^\infty\right) \Psi_n(x)H_{2,1,[\tau]+2}(x)dx\right\}\end{eqnarray*}$$

であり、

$$H_{2,1,[\tau]+1}(\infty)=0, \hspace{1zw}H_{2,1,[\tau]+1}(+0)=0$$

で、$x=1\pm 0$ では、

$$H_{2,1,[\tau]+1}(x) = -\log(x-1)+M(\tau+2)+M(\tau+1)\chi_{+}+M(-\tau)\chi_{-}+o(1)$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \lim_{\varepsilon \rightarrow +0}{\left\{ \left[-\P... ...]_{1-\varepsilon }^{1+\varepsilon }} } \\ &=& A_\tau \psi_n(z)\end{eqnarray*}$$

となり、また $x=1\pm 0$ では

$$\begin{eqnarray*}H_{2,1,[\tau]+2}(x) &=& \frac{1}{\tau+1}\frac{1}{x-1}+(\tau+1... ...1) \\ && -(\tau+1)(M(\tau+2)\chi_{+} +M(-\tau-1)\chi_{-})+o(1)\end{eqnarray*}$$

なので、 $F_1(x)=H_{2,1,[\tau]+2}(x)$ とし、

  $$\bar{F}_1(x) = F_1(x) -\xi(x)\left(\frac{1}{\tau+1}\frac{1}{x-1} + (\tau+1)\log\vert x-1\vert\right)$$ (40)

とすると、命題 1 より

  $$\begin{array}{l} \bar{F}_1(x) = x^{-\tau-2}(\mathop{\mathit{B}}... ...\tau+2)+1),\\ \bar{F}_1(1-0) = -(\tau+1)(M(\tau+1)+M(-\tau-1)+1) \end{array}$$ (41)

であり、$x=1$ 以外で連続で、有界かつ可積分となり、 よって $\sigma_n$ は

	$$\sigma_n$$	$=$	$$-\theta\frac{(w-z)^{\tau+1}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)} \left\{A_\tau\psi_n(z) -(\tau+1)\int_0^\infty\Psi_n(x)\bar{F}_1(x)dx \right.$$
			$$\left. -(\tau+1)^2\int_0^\infty\Psi_n(x)\xi(x)\log\vert x-1\vert dx -\mathop{\mathrm{p.v.}}\int_0^\infty\Psi_n(x)\frac{\xi(x)}{x-1}dx\right\}$$	(42)

と表される。

この (36)、(42) が、 (12) を $\tau+1$ 回部分積分した形、 ということになる。

なお、(41) の $\bar{F}_1(+0)$ と $\bar{F}_1(x)$ の $x=1$ での段差も、

	$$\mathop{\mathit{B}}(\tau+2,-1-\tau)$$	$=$	$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\tau+2)\mathop{\mathit{\Gamma}}(-1... ...\mathop{\mathit{\Gamma}}(\tau+1)\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(-\tau)}{-1-\tau}$$
		$=$	$$-B_\tau$$	(43)

および、(38) より

  $$\bar{F}_1(+0) = -B_\tau, \hspace{1zw}\left[\bar{F}_1(x)\right]_{1-0}^{1+0} = -(\tau+1) A_\tau$$ (44)

となる。