3 部分積分

$p>1$ に対する $I_{n,p}$ は、[1] の $p$ が整数の場合と同様、 部分積分によって $0<p<1$ の場合に帰着する。 まずはその公式を見ておく。

$p$ は非整数であるとし、$[p]=m\geq 0$ ($[\ ]$ はガウス記号)、 $\delta=p-m$ ($0<\delta<1$) とすると、

$$\begin{eqnarray*}(x^{-\delta})^{(m)} &=& -\delta(-\delta-1)\cdots(-\delta-m+1)x^{-\delta-m} \\ &=& (-1)^m(p-1)(p-2)\cdots(p-m)x^{-p}\end{eqnarray*}$$

であり、定数の積の部分は、

  $$(p-1)(p-2)\cdots(p-m) = \left(\begin{array}{c} \!\!p-1\!\! \\ \!\!m\!\! \end{array}\right)m!$$ (16)

と書くこともできるが、ここではガンマ関数で表しておく。 ガンマ関数 $\mathit{\Gamma}(x)$ では、

$$\mathit{\Gamma}(x) = (x-1)\mathit{\Gamma}(x-1) \hspace{1zw}(x>1)$$

が成り立つので、(16) は、

$$(p-1)(p-2)\cdots(p-m) = \frac{\mathit{\Gamma}(p)}{\mathit{\Gamma}(p-m)} = \frac{\mathit{\Gamma}(p)}{\mathit{\Gamma}(\delta)}$$

と書くことができる。これにより、

$$x^{-p} = (-1)^m\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}(x^{-\delta})^{(m)}$$

となるので、$m$ 回部分積分の公式

$$\int f^{(m)}g dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}f^{(m-k)}g^{(k-1)} + (-1)^m\int fg^{(m)}dx$$

より、

$$\int x^{-p}\sin^n xdx = (-1)^m\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)} \sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}(x^{-\delta})^{(m-k)}(\sin^n x)^{(k-1)}$$

$$\mbox{} +\frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)}\int x^{-\delta}(\sin^n x)^{(m)}dx$$ (17)

となるが、 $x\rightarrow +0$ では

$$(x^{-\delta})^{(m-k)}(\sin^n x)^{(k-1)} = O(x^{-\delta-m+k+n-k+1}) = O(x^{n-m+1-\delta}) = O(x^{n-p+1})$$

なので、条件 (3) より、 (17) の和の部分は $x\rightarrow +0$ でも $x\rightarrow\infty$ でも 0 に収束する。 よって、

  $$I_{n,p} = \frac{\mathit{\Gamma}(\delta)}{\mathit{\Gamma}(p)} \int_0^\infty\frac{(\sin^n x)^{(m)}}{x^\delta}\,dx$$ (18)

となり、左辺と右辺の収束性も一致することがわかる。 なお、これは、$m=0$、すなわち $0<p<1$ のときにも成立する。