6.5 例

小さな $n$, $m$ に対する $I_{n,m}$ の値をいくつか紹介しておく。

$n$ ＼ $m$	1	2	3	4	5	6	7
1	$\pi/2$	×	×	×	×	×	×
2	$\infty$	$\pi/2$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
3	$\pi/4$	$(3\log 3)/4$	$3\pi/8$	×	×	×	×
4	$\infty$	$\pi/4$	$\log 2$	$\pi/3$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
5	$3\pi/16$	$I_{5,2}$	$5\pi/32$	$I_{5,4}$	$115\pi/384$	×	×
6	$\infty$	$3\pi/16$	$I_{6,3}$	$\pi/8$	$I_{6,5}$	$11\pi/40$	$\infty$
7	$5\pi/32$	$I_{7,2}$	$7\pi/64$	$I_{7,4}$	$77\pi/768$	$I_{7,6}$	$5887\pi/23040$

$n+m$ が奇数の項は、複数の対数が出てくるために長い式になる。 その上に記載されてない値は以下の通りである。

$$\begin{eqnarray*}I_{5,2} &=& \frac{5}{16}(3\log 3 -\log 5), \hspace{1zw}I_{5,4}... ...7,6} &=& \frac{7}{5!\cdot 2^6}(3^6\log 3 - 5^5\log 5 + 7^4\log 7)\end{eqnarray*}$$

なお、$I_{7,2\mu}$ が比較的綺麗な形になっているように見えるが、 これは

$$\left(\begin{array}{c} \!\!7\!\! \\ \!\!2\!\! \end{array}\right)=21=7\cdot 3$$

である $n=7$ の場合だけにたまたま起こることで、 より大きい $n$ に対してはこのような形にはならない。