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2.3 収束判定法

無限級数の値を求めることは難しい問題であるが、 それ以前に収束するかどうかを判定することも容易ではなく、 一般的な判定法は残念ながら存在しない。 ここでは、よく用いられる 3 つの判定法を紹介する。

命題 10

正項級数 (1) に対して ( $\alpha_n\geq 0$)、

1. (ダランベールの判定法)
   
   
   $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}=\ell$$
   
   
   のとき、 $0\leq\ell<1$ ならば (1) は収束し、 $\ell>1$ ならば (1) は発散する
2. (コーシーの判定法)
   
   
   $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\alpha_n}=\ell$$
   
   
   のとき、 $0\leq\ell<1$ ならば (1) は収束し、 $\ell>1$ ならば (1) は発散する。
3. (積分判定法)
   $f(x)$ が $x\geq 1$ で定義された単調減少関数で、$f(x)\geq 0$ で、 $x=n$ (自然数) に対して $f(n)=\alpha_n$ になるとき (よって $\alpha_n$ も単調減少数列である必要がある)、 広義積分
   
   $$\int_1^\infty f(x)dx$$
   
   
   の収束、発散と (1) の収束、発散は一致する。

証明

1.
$0\leq\ell<1$ のときは、それが極限であるから、 $\ell<\ell'<1$ なる $\ell'$ に対して十分大きい $N$ から先の $n$ ($n\geq N$) に対しては

$$\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}<\ell'$$

が成り立つはずである。 よって、$n>N$ に対して

$$\alpha_n<\ell'\alpha_{n-1}<(\ell')^2\alpha_{n-2}<\cdots <(\ell')^{n-N}\alpha_N$$

となるので、

$$\beta_n = \left\{\begin{array}{ll} \alpha_n & (1\leq n<N)\\ (\ell')^{n-N}\alpha_N & (n\geq N) \end{array}\right.$$

とすると、 $0\leq \alpha_n\leq \beta_n$ で、

$$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^n\beta_k &=& \sum_{k=1}^{N-1}\alpha_k +\sum_{k=N}^... ...ha_N}{1-\ell'} \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty \mbox{ のとき}) \end{eqnarray*}$$

となるので $$\sum_{n=1}^\infty \beta_n$$ は収束する。 よって $$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ も収束する。

$\ell>1$ のときは、$\ell>\ell'>1$ なる $\ell'$ に対して 十分大きい $N$ から先の $n$ で

$$\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}>\ell'$$

が成り立つはずなので、 $\alpha_n>(\ell')^{n-N}\alpha_N$ となり、$\ell'>1$ より $(\ell')^{n-N}\alpha_N\rightarrow\infty$ ( $n\rightarrow\infty$ のとき) となるので、 $\alpha_n$ も無限大に発散するので明らかにこの級数は収束しない。

2.
この場合も、1. の場合とほぼ同様。$\ell<1$ なら、 $\ell<\ell'<1$ に対してある $N$ から先の $n$ で $\sqrt[n]{\alpha_n}<\ell'$ が成り立ち、 よって $\alpha_n<(\ell')^n$ となるので、

$$\gamma_n = \left\{\begin{array}{ll} \alpha_n & (1\leq n<N)\\ (\ell')^n & (n\geq N) \end{array}\right.$$

とすればよい。発散の方も 1. と同様。

3.
$f(x)$ は単調減少関数であるから、 $k\leq x\leq k+1$ では、 $f(k)\geq f(x)\geq f(k+1)$ なので、これを この範囲で積分すると

$$f(k)\geq \int_k^{k+1}f(x)dx\geq f(k+1)$$

が成り立つ ($k\geq 1$)。よって、

$$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k &=& \sum_{k=1}^{n}f(k) \geq \sum_... ...um_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}f(x)dx \\ &=& f(1)+\int_1^nf(x)dx \end{eqnarray*}$$

となる。よって、 $$\int_1^\infty f(x)dx$$ が $\infty$ に発散すれば $$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ も発散し、 $$\int_1^\infty f(x)dx$$ が収束すれば $$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ も収束する。

これらの判定法は正項とは限らない級数の場合も適用でき、 例えばダランベールの判定法ならば、一般の級数に対しては、

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left\vert\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}\right\vert=\ell$$

のとき、$0\leq\ell<1$ ならば (1) は絶対収束、 $\ell>1$ ならば発散、のようになる。

例をいくつか紹介する。

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} =1+\frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots$$ (6)

この級数の場合、ダランベールの判定法により

$$\frac{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{1}... ... \rightarrow 0 \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty \mbox{ のとき})$$

であるから収束することが言える (実際には $e$ に収束)。

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} =\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+\cdots$$ (7)

この場合、

$$\frac{\displaystyle \frac{1}{(n+1)^2}}{\displaystyle \frac{1... ... \rightarrow 1 \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty \mbox{ のとき})$$

であるから、ダランベールの判定法では収束の判定ができない。 この場合は、$1/x^2$ が単調減少関数であり、広義積分は

$$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{x=1... ...w\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)-\left(-\frac{1}{1}\right) =1$$

となって収束するので、(7) も収束する (実際には $\pi^2/6$ に収束することが知られている)。 一方、$1/x$ の場合は、

$$\int_1^\infty\frac{dx}{x} = \left[\log\vert x\vert\right]_{x... ...nfty} =\lim_{x\rightarrow\infty}\log\vert x\vert-\log 1=\infty$$

となるので、前にも見たように

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$$

は発散する。

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