次へ: 2.2 絶対収束 上へ: 2 無限級数の一般論 前へ: 2 無限級数の一般論 (PDF ファイル: series1.pdf)

2.1 収束の定義と基本性質

無限級数 (1) が 収束する とは、 $n$ 項までの和

$$S_n=\sum_{k=1}^n \alpha_k = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$$ (2)

が $n\rightarrow\infty$ のときに収束すること、と定義される。

$$\sum_{n=1}^\infty\alpha_n = \lim_{n\rightarrow\infty}S_n = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\alpha_k$$

収束しない場合、発散する という。例えば、

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} = 1+(-1)+1+(-1)+\cdots$$

は、

$$S_n=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (n \mbox{ が偶数のとき})\\ 1 & (n \mbox{ が奇数のとき})\end{array}\right.$$

なので収束しない。

命題 1

$$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ が収束するならば $$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$$

証明

$S_n-S_{n-1}=\alpha_n$ ($n\geq 2$) なので、 仮定より $n\rightarrow\infty$ のとき

$$S_n\rightarrow S =\sum_{n=1}^\infty \alpha_n, \hspace{1zw}S_{n-1}\rightarrow S$$

となるので、 $\alpha_n\rightarrow S-S=0$

この命題 1 の逆、すなわち $$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$$ であったとしても $$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ が収束するとは限らない。 例えば、

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$ (3)

は、 $\alpha_n=1/n\rightarrow 0$ だが、 この級数 (3) は $\infty$ に発散する。それは、

$$\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} &=& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\f... ...\\ &=& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots = \infty\end{eqnarray*}$$

となるからである。しかし、少なくとも $$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n\neq 0$$ ならば $$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$ が発散することは言える。

収束級数に対しては、容易に次も言える (証明は省略)。

命題 2

$$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$, $$\sum_{n=1}^\infty \beta_n$$ が収束する級数であるとき、

1. $$\sum_{n=1}^\infty (\alpha_n\pm\beta_n)$$ も収束し、 $$\sum_{n=1}^\infty (\alpha_n\pm\beta_n) =\sum_{n=1}^\infty \alpha_n \pm\sum_{n=1}^\infty \beta_n$$
2. 任意の定数 $c$ に対して $$\sum_{n=1}^\infty c\alpha_n$$ も収束し、 $$\sum_{n=1}^\infty c\alpha_n=c\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$$
3. すべての $n$ に対して $\alpha_n\leq\beta_n$ であれば $$\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\leq \sum_{n=1}^\infty \beta_n$$

また級数は、いくつかの項をまとめて考えても 収束、発散は変わらないことが言える。

命題 3

$$S=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n$$ に対して、 $\{\alpha_n\}$ を $m$ 個ずつまとめた項からなる数列 $\{\beta_n\}$ を

$$\begin{eqnarray*}\beta_1 &=& a_1+a_2+\cdots+a_m\\ \beta_2 &=& a_{m+1}+a_{m+2}+... ...cdots+a_{3m}\\ \lefteqn{\makebox[0.3\linewidth][l]{\dotfill}} \end{eqnarray*}$$

とし、その和を $$\hat{S}=\sum_{n=1}^\infty\beta_n$$ とすると、 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$$ であれば、 $S$ の収束、発散と、$\hat{S}$ の収束、発散とは一致し、 $S=\hat{S}$ となる。

証明

簡単のため、$m=3$ として証明する。 $\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$ の部分和をそれぞれ $S_n$, $\hat{S}_n$ と 書くことにすると、

$$\hat{S}_n=S_{3n}, \hspace{1zw}S_{3n+1}=\hat{S}_n+\alpha_{3... ..., \hspace{1zw}S_{3n+2}=\hat{S}_n+\alpha_{3n+1}+\alpha_{3n+2}$$

であり、よって、 $S_n\rightarrow S$ ならば $\hat{S}_n=S_{3n}\rightarrow S$ となる。

逆に、 $\hat{S}_n\rightarrow\hat{S}$ のとき、

$$\begin{eqnarray*}S_{3n} &=& \hat{S}_n\rightarrow\hat{S},\\ S_{3n+1} &=& \hat... ...}_n+\alpha_{3n+1}+\alpha_{3n+2} \rightarrow\hat{S}+0+0=\hat{S} \end{eqnarray*}$$

となるので、 $S_n\rightarrow\hat{S}$ となる。

次へ: 2.2 絶対収束 上へ: 2 無限級数の一般論 前へ: 2 無限級数の一般論