1 はじめに

本稿では、$\nu$ 次のベッセル関数 $J_\nu(x)$, ノイマン関数 $N_\nu(x)$ ($Y_\nu(x)$ とも書かれる) の、 $\nu=n+1/2$ ($n$: 自然数) の場合の半奇数次ベッセル関数の 計算法などを考察する。 [2] (39) によれば、 「半ベッセル関数」と呼ぶこともあるらしい。

半ベッセル関数は、$\sin x$, $\cos x$ で表せることが知られている 少し特別なものだが、ヘルムホルツ方程式とも関係し、 比較的よく現れるもののようでもある。 私もホーン方程式に対する解として初めて扱った ([3])。

半ベッセル関数を $\sin x$, $\cos x$ で表す公式やいくつかの具体的な式は、 数学辞典 [1] や公式集 [2] などで 紹介されているが、本稿ではその具体的な式を導くのに多少便利な 漸化式を紹介したいと思う。