2.1 方針

3 次元の極座標は、 $\mbox{\boldmath$r$}=(x,y,z)$ を

$$\mbox{\boldmath$r$} = (r\cos\phi\cos\theta,\ r\sin\phi\cos\theta,\ r\sin\theta)$$ (1)

$$\left(r=\vert\mbox{\boldmath$r$}\vert\geq 0,\ 0\leq\phi<2\pi, \ -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)$$

のように $r$, $\phi$, $\theta$ で表現する方法である。 地球表面の座標で言えば、$\phi$ は経度、$\theta$ は緯度に対応する (例えば [1] 6.3 節参照。 ただし本稿は、この本の $\pi/2-\theta$ を $\theta$ としている)。

この $(x,y,z)$ と $(r,\phi,\theta)$ の関係を変数変換と考え、 $(x,y,z)$ の関数 $f$ を

$$f(x,y,z) =f(r\cos\phi\cos\theta,r\sin\phi\cos\theta,r\sin\theta) =g(r,\phi,\theta)$$

によって $(r,\phi,\theta)$ の関数 $g$ と見たときに、 「$\triangle f$ を $g$ の微分で表現するとどうなるか」 というのが元の問題である。

この場合、$(x,y,z)$ が $(r,\phi,\theta)$ の式で表されているので、 $x,y,z$ を $r,\phi,\theta$ で微分するのはやさしいが、 その逆は難しい。 よって、この問題は通常以下のような方針によって求められる。

1. 極座標の微分 $g_r$, $g_\phi$, $g_\theta$ を 合成関数の微分を用いて $f_x$, $f_y$, $f_z$ で表す (2.2 節)。
2. そこから逆に $f_x$, $f_y$, $f_z$ を $g_r$, $g_\phi$, $g_\theta$ で表す (2.3 節)。
3. それを用いて $\triangle f$ を $g$ の微分で表現する (2.4, 2.5 節)。