7 垂直な場合に帰着させる証明

もう一つ幾何学的な証明を紹介する。 これは、証明 5 と似ているが、 $\mbox{\boldmath$B$}$ と $\mbox{\boldmath$C$}$ が垂直な場合に帰着させる、という点が異なる。

証明 6

Step 1.

証明 5 の Step 1. と同じで $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}\neq\mbox{\boldmath$0$}$ の場合のみを考える。

Step 2.

証明 5 の Step 2. と同様に、 $\mbox{\boldmath$C$}$ を (10) のように分けると、 $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$}$ で、 $\mbox{\boldmath$B$}$, $\mbox{\boldmath$F$}$, $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$}$ は右手系の直交系で、 (13) と同様にして

$$\mbox{\boldmath$B$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...dmath$F$})=\vert\mbox{\boldmath$F$}\vert^2\mbox{\boldmath$B$}$$ (15)

が得られる。

Step 3.

$\mbox{\boldmath$B$}$, $\mbox{\boldmath$F$}$, $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$}$ は 1 次独立なので、

$$\mbox{\boldmath$A$}=p\mbox{\boldmath$B$}+q\mbox{\boldmath$F$}+r(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})$$ (16)

とすると、(15), (16) より、

$$\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}) = \mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})$$

$$= \{p\mbox{\boldmath$B$}+q\mbox{\boldmath$F$}+r(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})\}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})$$

$$= p\mbox{\boldmath$B$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})+q\mbox{\boldmath$F$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$})$$

$$= -p\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2\mbox{\boldmath$F$}+q\vert\mbox{\boldmath$F$}\vert^2\mbox{\boldmath$B$}$$ (17)

となる。一方、(16) より $\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$}=p\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2$, $\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$F$}=q\vert\mbox{\boldmath$F$}\vert^2$ となるので、 これらを (17) に代入すれば

$$\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...box{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})\mbox{\boldmath$F$}$$ (18)

となることがわかる。この右辺に $\mbox{\boldmath$F$}=\mbox{\boldmath$C$}-a\mbox{\boldmath$B$}$ を代入すれば、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$F$})\mbox{\bo... ...\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})\mbox{\boldmath$C$} \end{eqnarray*}$$

となるので、これと (18) により (1) が得られたことになる。

この証明 6 は、本質的には証明 2、 証明 5 などとそれほど違いはないが、 (18) をみてわかる通り 実質的には $\mbox{\boldmath$B$}$ と $\mbox{\boldmath$C$}$ が垂直な場合に帰着させている。

なお、「垂直な場合に帰着」というなら、 むしろ (1) の両辺に $\mbox{\boldmath$C$}=a\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$F$}$ を代入することで先に (1) を (18) に帰着できることを示してから、 (15), (16) を用いてそれを示す、 という順の方が筋かもしれないが、 それだと (1) の右辺も使ってしまうことになるので、 ここでは (1) の左辺から右辺を導くということにこだわって あえてこのようにしてみた。 その点では、証明 5 は (1) の右辺を先に使ってしまっていることになるので、 この証明 6 の方がいいかもしれない。