3 ガンマ関数

次は、前節の半径 1 の $n$ 次元球の体積 (9) を ガンマ関数 $\mathop{\mathit{\Gamma}}(p)$ で表すことを考える。

ガンマ関数 (2) は以下のような性質を持つことを 講義で紹介した。

  $$\mathop{\mathit{\Gamma}}(p+1)=p\mathop{\mathit{\Gamma}}(p)\hspac... ...}}(1)=1,\hspace{1zw}\mathop{\mathit{\Gamma}}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$$ (11)

これらについても説明する。

まず、(2) は $x\rightarrow\infty$ に関して 広義積分であるが、$0<p<1$ の $p$ に対しては、$p-1<0$ より $x\rightarrow+0$ の方も広義積分になっていることに注意する。

しかし、 $x\rightarrow+0$ では、$e^{-x}$ は有界 ($e^{-x}\leq 1$) で $x^{p-1}$ は可積分 (広義積分は収束) なので、 $x\rightarrow+0$ での 広義積分は収束する。 また、 $x\rightarrow\infty$ では、 $h_{p-1}(x)=x^{p-1}e^{-x/2}$ は有界で $e^{-x/2}$ は可積分なので、 $x\rightarrow\infty$ の広義積分も収束する。 なお、$h_{p-1}(x)$ の有界性は、

$$h_{p-1}'(x) = (p-1)x^{p-2}e^{-x/2}-\,\frac{1}{2}x^{p-1}e^{-x/2} =\frac{1}{2}(2p-2-x)x^{p-2}e^{-x/2}$$

より $x>2p-2$ では減少することからわかる。 よって (2) は $p>0$ に対して収束する。

$p>0$ に対し、部分積分により、

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathit{\Gamma}}(p+1) &=& \int_0^\infty x^pe^{-x}dx ... ...lim_{K\rightarrow \infty}{K^pe^{-K}}+p\mathop{\mathit{\Gamma}}(p)\end{eqnarray*}$$

となるが、$K^pe^{-K}$ の極限は、 $K^pe^{-K/2}=h_p(K)$ が有界で、 $e^{-K/2}\rightarrow 0$ となるから 0 に収束し、 これで (11) の最初のものが得られる。 残りのものは、直接計算して、

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathit{\Gamma}}(1) &=& \int_0^\infty e^{-x}dx \ =\ ... ...e^{-t^2}2tdx \ =\ 2\int_0^\infty e^{-t^2}dt \ =\ \sqrt{\pi}\end{eqnarray*}$$

となる (最後の積分については、例えば [2] 参照)。

これらを用いると、自然数 $m$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}2^m\mathop{\mathit{\Gamma}}(m+1) &=& 2^mm! \ =\ 2^m m(m-1)... ... (2m+1)(2m-1)\cdots 3\cdot 1\sqrt{\pi} \ =\ (2m+1)!!\sqrt{\pi}\end{eqnarray*}$$

となるので、(9) にこれらを用いると、$n=2m$ のときは、

$$V_{2m}(1) = \frac{2^m\pi^m}{(2m)!!} = \frac{2^m\pi^m}{2^m\mathop{\mathit{\Gamma}}(m+1)} =\frac{\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2+1)}$$

となり、$n=2m+1$ のときは、

$$V_{2m+1}(1) = \frac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!} = \frac{2^{m+1}\pi^m... ...op{\mathit{\Gamma}}(m+3/2)} =\frac{\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2+1)}$$

となるので、結局 $V_n(1)$ はすべての自然数 $n$ に対して

  $$V_n(1) = \frac{\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2+1)}$$ (12)

と書けることになる。 よって、(8) より $A$ は

$$A = nV_n(1) = \frac{n\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2+1)}... ...thop{\mathit{\Gamma}}(n/2)} = \frac{2\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)}$$

となるので、結局 (7) の $I_k$ は

  $$I_K = \frac{2\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)}\int_0^K r^{n-1}g(r)dr$$ (13)

と書けることになる。

$r^{n-1}g(r)$ が $r\geq 0$ で可積分ならば、 (13) で $K\rightarrow\infty$ とすれば、

  $$I_\infty =\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}^n}g(\vec{x})d\ve... ... = \frac{2\pi^{n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)}\int_0^\infty r^{n-1}g(r)dr$$ (14)

も得られる。