2 動径方向の関数の積分

まず、次のような積分を考える。

  $$I_K = \int_{B_K}g(\vert\vec{x}\vert)d\vec{x}$$ (3)

ここで、 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mbox{\boldmath R}^n$、$B_K$ は原点中心で 半径が $K$ の $n$ 次元球

  $$B_K=\{\vec{x}\ \vert\ \vert\vec{x}\vert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\leq K\}$$ (4)

$g=g(r)$ は $r\geq 0$ 上の 1 変数関数である。

積分領域が球なので、通常は $n$ 次元極座標

  $$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{lll} x_1 &=& r\cos\theta... ... \hspace{0.5zw}0\leq\theta_{n-2}\leq \pi,0\leq\theta_{n-1}< 2\pi) \end{array}$$ (5)

に変換して積分する。 このとき、この極座標 (5) の ヤコビ行列式 $J$ は

  $$J = J(r,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}) =\left\vert\frac{\partial... ...\ldots,\theta_{n-1})}\right\vert =r^{n-1}\hat{J}(\theta_1,\ldots,\theta_{n-1})$$ (6)

の形となる。よって、(3) は

  $$I_K = \int_0^K g(r)r^{n-1}dr\int_0^\pi d\theta_1\cdots \int_0^\pi d\theta_{n-2}\int_0^{2\pi}\hat{J}d\theta_{n-1} =A\int_0^K r^{n-1}g(r)dr$$ (7)

となる。

ここで、$g(r)\equiv 1$ ならば (7) は $B_K$ の 体積 $V_n(K)$ となるので、

$$V_n(K) = A\int_0^K r^{n-1}dr = \frac{AK^n}{n}$$

より $A$ は

  $$A = \frac{nV_n(K)}{K^n} = nV_n(1)$$ (8)

となる。 [1] で見たように、半径 1 の $n$ 次元球の体積 $V_n(1)$ は 以下の式で表される。

  $$V_n(1) = \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{2^m\pi^... ...zh] \displaystyle \frac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!} & (n=2m+1) \end{array}\right.$$ (9)

ここで $n!!$ は $n$ から 2 ずつ減らして 1, または 2 までかけたもの

  $$n!! = n(n-2)(n-4)\cdots$$ (10)

である。