4 有限和の積分化

まずは、(3) にルベーグ収束定理を適用するために、 (3) の左辺の有限和の部分を、ある関数の積分の形に 変形する。

以後、実数全体の部分集合 $A$ の定義関数を $\chi_A(x)$ と書く。すなわち、

  $$\chi_A(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (x\in A)\\ 0 & (x\not\in A) \end{array}\right.$$ (10)

と定義する。また、 $\lfloor x\rfloor$ を $x$ 以下の最大の整数、 $\lceil x\rceil$ を $x$ 以上の最小の整数 $(\lceil x\rceil-\lfloor x\rfloor=$0 または 1) とするとき、$t$ に対し

  $$\alpha_n = \alpha_n(t) = \lfloor\mu+t\sigma_n\rfloor, \hspace{1zw} \beta_n = \beta_n(t) = \lceil\mu+t\sigma_n\rceil - 1$$ (11)

とすると、 $\beta_n=\alpha_n$ または $\beta_n=\alpha_n-1$ であり、 $k\leq \mu_n+t\sigma_n$ は $k\leq\alpha_n$ と同値で、 $k<\mu_n+t\sigma_n$ は $k\leq\beta_n$ と同値になるので、

  $$\begin{array}{ll} \displaystyle \mathrm{Prob}\left\{\frac{x-\mu... ...}^{\beta_n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} \end{array}$$ (12)

と書ける。また、これらの和の $k=0$ の項を除外して、 $k=1$ からの和にするが、その場合 $k=0$ の項は、

$$\left(\begin{array}{c}n\ 0\end{array}\right)p^0q^{n} = q^n$$

なので、これは $n\rightarrow\infty$ のときに 0 に収束する。 その上で、この和の各項を、区間 $[k,k+1)$ 上での 底辺 1 の長方形の面積と考えれば、 丁度ヒストグラムの面積と見ることができて、

$$\sum_{k=0}^{\alpha_n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right... ..._n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} \chi_{[k,k+1)}(x)dx$$

のように積分化できる。そして $x=\mu_n+u\sigma_n$ と置換すると、 この式は

  $$\sum_{k=0}^{\alpha_n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\righ... ...n{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} \chi_{[k,k+1)}(\mu_n+u\sigma_n)du$$ (13)

と書ける。この被積分関数を $f^{(0)}_n(u)$ と考える。

$$\chi_{[k,k+1)}(\mu_n+u\sigma_n) = \chi_{[(k-\mu_n)/\sigma_n,(k+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u)$$

に注意し、$k=n$ の項 $p^n$ も除外し、 であるから、$f^{(0)}_n(u)$ を

$${f^{(0)}_n(u) \ =\ \sum_{k=1}^{n-1}\sigma_n\left(\begin{array}{c... ...nd{array}\right)p^kq^{n-k} \chi_{[(k-\mu_n)/\sigma_n,(k+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u)}$$

$$= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sigma_n\left(\begin{array... ...igma_n},\hspace{0.5zw} u\geq \frac{n-\mu_n}{\sigma_n}\right) \end{array}\right.$$ (14)

とすると

  $$\sum_{k=1}^{n-1}\sigma_n\left(\begin{array}{c}n\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} =p^n+q^n+\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f^{(0)}_n(u)du$$ (15)

であり、また $\alpha_n,\beta_n\leq n-1$ のときに $f^{(1)}_n(u)$, $f^{(2)}_n(u)$ を

$$f^{(1)}_n(u) = f^{(0)}_n(u)\chi_{[(1-\mu_n)/\sigma_n,(\alpha_n+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u)$$

$$= \sum_{k=1}^{\alpha_n}\sigma_n\left(\begin{array}{c}n\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} \chi_{[(k-\mu_n)/\sigma_n,(k+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u),$$ (16)

$$f^{(2)}_n(u) = f^{(0)}_n(u)\chi_{[(1-\mu_n)/\sigma_n,(\beta_n+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u)$$

$$= \sum_{k=1}^{\beta_n}\sigma_n\left(\begin{array}{c}n\ k\end{array}\right)p^kq^{n-k} \chi_{[(k-\mu_n)/\sigma_n,(k+1-\mu_n)/\sigma_n)}(u),$$ (17)

とすれば、

  $$\begin{array}{ll} \displaystyle \sum_{k=1}^{\alpha_n}\sigma_n\l... ...isplaystyle q^n+\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}f^{(2)}_n(u)du \end{array}$$ (18)

となり、これで (3), (9) の左辺が 積分の形で表現され、ルベーグ収束定理が使える形となる。