1 はじめに

基礎数理IIIの復習問題で、$z=x^2+y^2$ の $D=\{(x,y)\ \vert\ -1\leq x\leq 1,\ -1\leq y\leq 1\}$ 上の 部分の曲面積 $S$ を累次積分で表わせ、という問題を出した。その解は

$$S = \int\hspace{-6pt}\int _D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy =\int_{-1}^1\left\{\int_{-1}^1\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dy\right\}dx$$ (1)

となる。 問題はここまでとし「この積分の計算は面倒」と説明したが、 せっかくなのでこれがどれくらい面倒なのか、 計算を示してみることにする。