3 分母が 2 次の有理関数の積分

まずは、分母が 2 次の有理関数の積分

$$I_1 = \int \frac{bx+c}{x^2+a^2} dx$$ (11)

を考える。ここで、$a$, $b$, $c$ は実数の定数で、$a>0$ とする。

通常これは、

$$I_1 = \int\frac{bx}{x^2+a^2} dx + \int\frac{c}{x^2+a^2} dx$$

と分けて考え、前者は $x^2+a^2=u$、後者は $x=at$ と置換し、

$$I_1 = \int\frac{b}{u} \frac{du}{2} + \int\frac{c}{a^2} \frac{adt}{t^2+1} = \frac{b}{2}\log\vert u\vert+\frac{c}{a}\arctan t+C$$

$$= \frac{b}{2}\log(x^2+a^2)+\frac{c}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$ (12)

となるものである。 本節では、これを複素数の範囲で部分分数分解して考える。

$$\frac{bx+c}{x^2+a^2} = \frac{bx+c}{(x+ai)(x-ai)} = \frac{A}{x+ai}+\frac{B}{x-ai}$$

と置くと、

$$bx+c = A(x-ai)+B(x+ai)$$

となるので、$x=ai$, $x=-ai$ を代入することで $A$, $B$ は

$$B = \frac{abi+c}{2ai} = \frac{b}{2}-\frac{ci}{2a}, \hspace{0.5zw} A = \frac{-abi+c}{-2ai} = \frac{b}{2}+\frac{ci}{2a}$$

となり、よって

$$\frac{bx+c}{x^2+a^2} = \left(\frac{b}{2}+\frac{ci}{2a}\righ... ...}{x+ai} + \left(\frac{b}{2}-\frac{ci}{2a}\right)\frac{1}{x-ai}$$

と分解される。

$x+ai$, $x-ai$ は、$x$ が実数を動いても実軸 ($x$ 軸) とは交わらないので、 (9) より、

$$\begin{eqnarray*}\int\frac{dx}{x+ai} &=& \mathop{\rm Log}(x+ai) + C_1 = \l... ...}(x-ai) + C_2 = \log\vert x-ai\vert+i\mathop{\rm Arg}(x-ai)+C_2\end{eqnarray*}$$

となる。 ここで、(7) より、

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\rm Arg}(x+ai) &=& -\arctan\frac{x}{a}+\frac{\pi}{2},... ...tan\frac{x}{-a}-\frac{\pi}{2} = \arctan\frac{x}{a}-\frac{\pi}{2}\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}I_1 &=& \left(\frac{b}{2}+\frac{ci}{2a}\right)\mathop{\rm Lo... ...\log(x^2+a^2)+\frac{c}{a}\arctan\frac{x}{a} -\frac{c\pi}{2a}+C_3\end{eqnarray*}$$

となり、確かに (12) と同じものが得られる。

しかしどちらが易しいかといえば、多分前者の方であり、 複素数を用いて分母を 1 次式の積にまで落として部分分数分解をしても、 その後の処理があまり易しくないことがわかる。 特に、 $\mathop{\rm Arg}$ の表現については、 ここでは (7) を用いたが、 (6) の方で考えてしまうとなかなか (12) にはたどりつけない。