4.4 例 4

(7) の応用例を一つ紹介する。

$n$ 次正方行列 $A$ に対して、スカラー $\lambda$ と、 $\mbox{\boldmath$0$}$ でない $n$ 次元数ベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ が、

$$A\mbox{\boldmath$x$} = \lambda\mbox{\boldmath$x$}$$

を満たすとき、$\lambda$ を $A$ の固有値、 $\mbox{\boldmath$x$}$ を $A$ の、 $\lambda$ に関する固有ベクトルと言う。

$\lambda$ は

$$f(\lambda) = \vert\lambda E-A\vert = \lambda^n + \ldots = 0$$

という $n$ 次方程式の解であり、一般には複素数となるが、 各 $A$ に対し重複も数えて、$n$ 個存在する。 その各固有値 $\lambda$ に対して、固有ベクトルは少なくとも一つは存在するが、 これも一般には複素数成分の数ベクトルとなる。 $A$ の成分がすべて実数で、$\lambda$ も実数であれば、 それに関する固有ベクトルは実数成分の数ベクトルが取れる。

$\mbox{\boldmath$x$}$ が $\lambda$ に関する固有ベクトルならば、 $c\mbox{\boldmath$x$}$ ($c\neq 0$) も $\lambda$ に関する固有ベクトル、 $\mbox{\boldmath$x$}$, $\mbox{\boldmath$y$}$ が $\lambda$ に関する固有ベクトルならば、 $\mbox{\boldmath$x$}+\mbox{\boldmath$y$}$ も $\lambda$ に関する固有ベクトルとなるので、 $\lambda$ に関する固有ベクトル全体は、 $\mbox{\boldmath$0$}$ も入れれば、 1 次元以上の部分ベクトル空間を作る。

$A$ の $n$ 個の固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ に対する $n$ 個の固有ベクトル $\mbox{\boldmath$x$}_j$ ( $j=1,2,\ldots,n$) が存在するとき、 $\mbox{\boldmath$x$}_j$ を並べた行列を $X=[\mbox{\boldmath$x$}_1\ \mbox{\boldmath$x$}_2\ \cdots\ \mbox{\boldmath$x$}_n]$ とすると、 $A\mbox{\boldmath$x$}_j=\lambda_j\mbox{\boldmath$x$}_j$、および (3), (7) より、

$$\begin{eqnarray*}AX &=& A[\mbox{\boldmath$x$}_1\ \mbox{\boldmath$x$}_2\ \cdot... ...sh{\raisebox{.0ex}{\Large$O$}}& & & \lambda_n \end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。 よって、もし $\{\mbox{\boldmath$x$}_j\}$ が一次独立であれば $X$ は逆行列を持つので、

  $$X^{-1}AX = \left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \smash{\ra... ...\ \smash{\raisebox{.0ex}{\Large$O$}}& & & \lambda_n \end{array}\right]X^{-1}$$ (9)

と書ける。これを $A$ の対角化と呼ぶ。対角化により、例えば $A^m$ は

$$\begin{eqnarray*}A^m &=& \left(X\left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \s... ...ebox{.0ex}{\Large$O$}}& & & \lambda_n^m \end{array}\right]X^{-1}\end{eqnarray*}$$

のように計算できる。

さらに、行列 $P_j$ ( $j=1,2,\ldots,n$) を

  $$P_j = [\mbox{\boldmath$0$}\ \cdots\ \mbox{\boldmath$x$}_j\ \cdots\ \mbox{\boldmath$0$}]X^{-1}$$ (10)

とする。なお、この右辺の左の行列は、$j$ 列目が $\mbox{\boldmath$x$}_j$ で、 それ以外の列はゼロベクトルとしたものである。すると、

$$P_jX = [P\mbox{\boldmath$x$}_1\ P\mbox{\boldmath$x$}_2\ \cdots\ P... ...box{\boldmath$0$}\ \cdots\ \mbox{\boldmath$x$}_j\ \cdots\ \mbox{\boldmath$0$}]$$

となるので、この $P_j$ は、

$$P_j\mbox{\boldmath$x$}_k = \mbox{\boldmath$0$}\ (j\neq k), \hspace{1zw}P_j\mbox{\boldmath$x$}_j = \mbox{\boldmath$x$}_j$$

を満たす。すなわち $P_j$ は、 $\mbox{\boldmath$x$}_j$ 方向のベクトルは変えず、 $\mbox{\boldmath$x$}_j$ 以外の方向のベクトルはすべて消すような行列で、 $\mbox{\boldmath$x$}_j$ 方向の射影行列と呼ばれる。 ここにさらに $P_j$ を左からかけると、

$$P_j^2\mbox{\boldmath$x$}_k = \mbox{\boldmath$0$}\ (j\neq k), \hs... ...}P_j^2\mbox{\boldmath$x$}_j = P_j\mbox{\boldmath$x$}_j = \mbox{\boldmath$x$}_j$$

となるから、$P^2_j$ も (10) を満たすことになり、 よって $P_j^2 = P_j$ となる。また、$i\neq j$ に対して、

$$P_iP_j\mbox{\boldmath$x$}_k = \mbox{\boldmath$0$}\ (j\neq k), \hs... ...w}P_iP_j\mbox{\boldmath$x$}_j = P_i\mbox{\boldmath$x$}_j = \mbox{\boldmath$0$}$$

となるので、$P_iP_j=O$ となることもわかる。すなわち射影行列は、

  $$P_j^2 = P_j,\hspace{1zw}P_iP_j = O\ (i\neq j)$$ (11)

を満たす。

この射影行列により、$X$ は

$$X = [\mbox{\boldmath$x$}_1\ \mbox{\boldmath$x$}_2\ \cdots\ \mbox... ...ath$x$}_j\ \cdots\ \mbox{\boldmath$0$}] = \sum_{j=1}^nP_jX = (P_1+\cdots+P_n)X$$

と書け、

$$AP_jX = A[\mbox{\boldmath$0$}\ \cdots\ \mbox{\boldmath$x$}_j\ \c... ...\ \lambda_j\mbox{\boldmath$x$}_j\ \cdots\ \mbox{\boldmath$0$}] = \lambda_jP_jX$$

となるので、結局、

$$AX = A\left(\sum_{j=1}^nP_jX\right) = \sum_{j=1}^nAP_jX = \sum_{j=1}^n\lambda_j P_jX$$

となり、$X^{-1}$ を右からかければ、

  $$A = \sum_{j=1}^n\lambda_j P_j = \lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\cdots+\lambda_nP_n$$ (12)

が得られる。これは、$A$ の対角化 (9) の射影行列による 表現であり、行列のスペクトル分解とも呼ばれる。 この場合も、例えば $A^m$ は、(11) の性質により、

$$A^m = \left(\sum_{j=1}^n\lambda_j P_j\right)^m = \sum_{j=1}^n\la... ...m P_j^m = \sum_{j=1}^n\lambda_j^m P_j = \lambda_1^m P_1+\cdots+\lambda_n^m P_n$$

のように固有値の累乗のみで求まることになる。