1 はじめに

$n$ 次正方行列 $A,B$ に対し、一般には $AB=BA$ とはならず、 逆に $AB=BA$ が成り立つとき $A$ と $B$ は可換であるという。

$A^k$ と $A$ とは、 $AA^k=A^kA=A^{k+1}$ より $A$ と $A^k$ は可換で あるから、一般に多項式 $$f(x)=\sum_{k=0}^m a_kx^k$$ に 対して $$B=f(A)=\sum_{k=0}^m a_kA^k$$ と $A$ は可換になる。

本稿では、この逆が成り立つか、すなわち $B$ が $A$ と可換ならば、 なんらかの多項式 $f(x)$ によって $B=f(A)$ の形に書けるだろうか、 について考えてみる。

なお、$A=kE$ ($k$ はスカラー、$E$ は単位行列) や $A=O$ (零行列) の 場合は任意の $B$ が $A$ と可換になってしまうので、 本稿では $A$ はそのどちらの形でもないと仮定する。

また、ケーリー・ハミルトンの定理により、$A^n$ は $A$ の $(n-1)$ 次 以下の多項式で表せるので、$f(x)$ は $(n-1)$ 次以下 ($m<n$) の 多項式と考えてよいことに注意する。