2 ロピタルの定理

ロピタルの定理は、おおざっぱに言えば以下のようなものである (工学部向けの本だと、この程度しか書いてないものもある):

「 $$I=\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$$ が $$\frac{0}{0}$$ か $$\frac{\infty}{\infty}$$ の形 (不定形) であれば、 $$I=\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ となる」

もう少しまともに書けば、以下の通り。

定理 1 (ロピタルの定理)

$f(x)$, $g(x)$ が以下の条件を満たすとする。

1. $a$ を含むある開区間 $J$ 上で $f(x)$, $g(x)$ は連続
2. $J\setminus\{a\}$ で $f(x)$, $g(x)$ は微分可能で、かつ $g'(x)\neq 0$
3. $f(a)=g(a)=0$

このとき、

$$I_1 = \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \hspace{0.5zw}(=\beta)$$ (1)

が存在すれば、 $$I_0 = \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$$ も 存在して、$I_0=I_1$ となる。

これは、条件 3 により $$\frac{0}{0}$$ の不定形の場合を 意味するが、「存在すれば」は $I_1$ の方に対する条件であり、 そのとき $I_0=I_1$ が成り立つという定理であり、 通常の使い方とは実はむしろ逆である。例えば、 $$I_0 = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$$ は $$\frac{0}{0}$$ の形なので、 普通は、

$$I_0 = I_1 = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x^2-... ...x-2)'} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x-3}{1} = 1$$

と求めるだろうが、定理 1 から言えば、本来は

「 $$I_1 = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x^2-3x+2)'}{(x-2)'} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x-3}{1}$$ となるので、$I_0=I_1=1$ となる」

としなくてはならず、 つまり「$I_0=I_1$」を最初に書いてはだめで、$I_1$ が求まって初めて 「$I_0=I_1$」と書けることになる。 特に 2 回ロピタルを使う問題の場合はさらに面倒なことになる。

その辺は、普通は大目に見るのであるが、 できれば、本当は $I_1$ の存在が保証されて初めて「$I_0=I_1$」が 言えるということも頭に置いてもらいたい事実である。 例えば、以下の例では、$I_0$ は存在するが、$I_1$ は存在せず、 よって $I_0=I_1$ とはならない。

$$\begin{eqnarray*}I_0 &=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displayst... ...im_{x\rightarrow 0}\left(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\right)\end{eqnarray*}$$

最後の式を見るとわかるが、$I_1$ の最初の項は 0 に収束するが、 後ろの項は収束しない。よって、定理 1 の最後の 仮定が満たされず、$I_0=I_1$ も成立しない。 つまりこれは普通のロピタルの使い方が通用しない例である。