5 導関数

次は、$\exp(x)$ の導関数を考える。 そのために、まず $\vert\Delta x\vert\leq 1$ となる $\Delta x$ に対して、

$$\left\vert\left(1+\frac{\Delta x}{n}\right)^{n}-1-\Delta x\right\vert\leq \vert\Delta x\vert^2$$ (31)

の不等式が成り立つことを示す。

$$\left(1+\frac{\Delta x}{n}\right)^{n} =\sum_{k=0}^n{}_{n}\ma... ...ta x}{n}\right)^k =1+\Delta x + \sum_{k=2}^n b^n_k(\Delta x)^k$$

なので、 $\vert\Delta x\vert\leq 1$ のときは (8) より、

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\sum_{k=2}^n b^n_k(\Delta x)^k\right\vert &\leq & \... ...\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right) \\ &\leq & \vert\Delta x\vert^2\end{eqnarray*}$$

となり、(31) が成り立つことがわかる。 この式で $n\rightarrow\infty$ の極限を考えると、

$$\left\vert\exp(\Delta x)-1-\Delta x\right\vert\leq \vert\Delta x\vert^2 \hspace{1zw}(\vert\Delta x\vert\leq 1)$$ (32)

が得られる。指数法則により

$$\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x} = \frac{\exp(x)\e... ...exp(x)}{\Delta x} = \exp(x)\frac{\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}$$

となるから、よって (32) より、

$$\left\vert\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x} -\exp(x)... ...a x)-1}{\Delta x} -1\right\vert \leq \exp(x)\vert\Delta x\vert$$

となるので、$x$ を固定して $\Delta x\rightarrow 0$ とすれば、 右辺は 0 に収束するから、

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}}=\exp(x)$$

となり、これは $\exp(x)$ の導関数が $\exp(x)$ であること

$$\left\{\exp(x)\right\}' = \exp(x)$$ (33)

を意味する。

なお、逆関数の微分公式

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle \,\frac{dx}{dy}\,}$$

を用いれば、$y=\exp(x)$ の逆関数 $x=\ln(y)$ の導関数は、

$$\frac{d\ln (y)}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \,\frac{dy}{dx}\,} = \frac{1}{(\exp(x))'} = \frac{1}{\exp(x)} = \frac{1}{y}$$

となるので、$\ln(1)=0$ より、$\exp(x)$ の逆関数 $\ln(y)$ は、 いわゆるメルカトルの自然対数 (双曲対数)

$$\ln(y) = \int_1^y\frac{dt}{t}$$

に等しいことがわかる。