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6 関数の収束

数列の場合と同様に、関数の極限

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\beta$$

は、「$x$ が $a$ に近づくときに、$f(x)$ の値が限りなく $\beta$ に近づくこと」 であるから、これは次のように定義される。

定義 4

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\beta$$

とは、どんな正の数 $\varepsilon$ ($>0$) を取っても、

$x\neq a$ かつ $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-\beta\vert<\varepsilon$

となるような $\delta$ を取ることができること、を意味する。

なお、ここに「$x\neq a$」というものが入っているが、 関数の極限では $x=a$ での値、 すなわち $f(a)$ が $\beta$ に近いかどうかは問わない (逆に、この極限 $\beta$ が $f(a)$ に等しいときは $f(x)$ は $x=a$ で「連続」であるという)。

このような極限の定義は A.L.Cauchy (1789-1857, 仏) によって始められた極限の定義方法であるが、 よく「$\varepsilon$ - $\delta$ 論法」と呼ばれている。

理学部数学科向けの数学の本では、英語を直訳したような独特の表現で、

任意の正数 $\varepsilon$ ($>0$) に対して ある $\delta$ ($>0$) が存在し、

$x\neq a$ かつ $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-\beta\vert<\varepsilon$

となる

のように書いたり、さらに「任意の」を「$\forall$」、 「ある$\sim$ が存在する」を「$\exists$」のように記号的に書いて、

$\forall\varepsilon$ ($>0$), $\exists\delta$ ($>0$), s.t. $x\neq a$ かつ $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-\beta\vert<\varepsilon$
(s.t. $=$ such that ($\sim$ を満たすような))

のように書いたりすることもある。 慣れればなんでもないのであるが、 初学者はこのような妙な言いまわしにとまどうことも多い。

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