3 指数関数倍の公式を用いる方法

ラプラス変換は、指数関数倍に対しては、次のような公式がある。

$$\mathcal {L} \mathcal {L}$$ (4)

これも、形式的に次のようにして得られる。

$$\mathcal {L}$$[e^atf (t)](s) = $$\int_{0}^{\infty}$$e^-ste^atf (t)dt = $$\int_{0}^{\infty}$$e^-(s-a)tf (t)dt = $$\mathcal {L}$$[f (t)](s - a)

t sin t を t の sin t 倍と見て、 sin t をオイラーの公式により複素指数を使って書き直せばこの公式が使える。 オイラーの公式より、

e^it = cos t + i sin t,   e^-it = cos t - i sin t

なので、

$${\frac{{e^{it}+e^{-it}}}{{2}}} {\frac{{e^{it}-e^{-it}}}{{2i}}}$$ (5)

となる。よって、

t sin t = t$${\frac{{e^{it}-e^{-it}}}{{2i}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2i}}}$$te^it - $${\frac{{1}}{{2i}}}$$te^-it

なので、(5) より

$$\mathcal {L} {\frac{{1}}{{2i}}} \mathcal {L} {\frac{{1}}{{2i}}} \mathcal {L} {\frac{{1}}{{2i}}} \mathcal {L} {\frac{{1}}{{2i}}} \mathcal {L}$$ =

$${\frac{{1}}{{2i}}} \left\{\vphantom{\mathcal{L}[t](s-i)-\mathcal{L}[t](s+i)}\right. \mathcal {L} \mathcal {L} \left.\vphantom{\mathcal{L}[t](s-i)-\mathcal{L}[t](s+i)}\right\}$$ =

となるが、 $\mathcal {L}$[t](s) = 1/s² なので、よって

$$\mathcal {L} {\frac{{1}}{{2i}}} \left\{\vphantom{\frac{1}{(s-i)^2}-\frac{1}{(s+i)^2}}\right. {\frac{{1}}{{(s-i)^2}}} {\frac{{1}}{{(s+i)^2}}} \left.\vphantom{\frac{1}{(s-i)^2}-\frac{1}{(s+i)^2}}\right\} {\frac{{(s+i)^2-(s-i)^2}}{{2i(s-i)^2(s+i)^2}}}$$ =

$${\frac{{(s^2+2si+i^2)-(s^2-2si+i^2)}}{{2i(s^2-i^2)^2}}} {\frac{{4si}}{{2i(s^2+1)^2}}} {\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$ =

となる。

なお、この複素指数を利用する方法には、 (6) を利用する以外に、 複素指数倍のラプラス変換の実数部分と虚数部分を考える、 という方法もある。オイラーの公式により、

$$\mathcal {L}$$[te^it] = $$\mathcal {L}$$[t cos t + it sin t] = $$\mathcal {L}$$[t cos t] + i$$\mathcal {L}$$[t sin t]

なので、 $\mathcal {L}$[te^it] の虚数部分が $\mathcal {L}$[t sin t] であり、

$$\mathcal {L}$$[te^it](s) = $$\mathcal {L}$$[t](s - i) = $${\frac{{1}}{{(s-i)^2}}}$$

となるから、1/(s - i)² を実数部分と虚数部分に分けると、

$${\frac{{1}}{{(s-i)^2}}}$$ = $${\frac{{(s+i)^2}}{{\{(s-i)(s+i)\}^2}}}$$ = $${\frac{{s^2+2si+i^2}}{{(s^2-i^2)^2}}}$$ = $${\frac{{s^2-1}}{{(s^2+1)^2}}}$$ + i$${\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$

となるので、よって

$$\mathcal {L}$$[t cos t] = $${\frac{{s^2-1}}{{(s^2+1)^2}}}$$,   $$\mathcal {L}$$[t sin t] = $${\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$

となる、という方法である。 こちらの方が、e^-it を使わない分多少楽であるし、 ついでに t cos t のラプラス変換も得られる、というメリットがある。