2 多項式倍の公式を用いる方法

多項式倍のラプラス変換については、次のような公式がある。

$$\mathcal {L} {\frac{{d}}{{ds}}} \mathcal {L}$$ (2)

この公式は、形式的に以下のようにして導かれる。

$${\frac{{d}}{{ds}}} \mathcal {L} {\frac{{d}}{{ds}}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} {\frac{{\partial}}{{\partial s}}} \left\{\vphantom{e^{-st} f(t)}\right. \left.\vphantom{e^{-st} f(t)}\right\}$$ =

$$\int_{0}^{\infty} \left\{\vphantom{-te^{-st} f(t)}\right. \left.\vphantom{-te^{-st} f(t)}\right\} \int_{0}^{\infty} \mathcal {L}$$ =

なお、上の変形の途中で微分と積分の順序交換の定理:

$${\frac{{d}}{{dy}}}$$$$\int_{a}^{b}$$f (x, y)dx = $$\int_{a}^{b}$$$${\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}$$(x, y)dx

を用いた。

(2) を繰り返せば一般に、

$$\mathcal {L} {\frac{{d^k}}{{ds^k}}} \mathcal {L}$$ (3)

も得られる。 これにより、多項式倍のラプラス変換は、 ラプラス変換の微分で求まることになる。 これを用いれば、

$$\mathcal {L} \left(\vphantom{\mathcal{L}[\sin t]}\right. \mathcal {L} \left.\vphantom{\mathcal{L}[\sin t]}\right){^\prime} \left(\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right. {\frac{{1}}{{s^2+1}}} \left.\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right){^\prime} {\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$

と求まる。