6 B_n の評価と極限

次に, $B_n=\eta_n\widehat{\sigma}_n-\widehat{\eta}_n\sigma_n$ の評価, およびその極限を考察する.

本節では, (20) と (21) の 式を使って, $B_n$ を一旦行列式形に表す.

$$\overrightarrow{Q} = \left[\begin{array}{c}Q_1\\ Q_2\end{array}\r... ...overrightarrow{R}(s) = \left[\begin{array}{c}R_1(s)\\ R_2(s)\end{array}\right]$$

と書くことにすると,

$$\begin{eqnarray*}\left[\begin{array}{c}\eta_n\\ \widehat{\eta}_n\end{array}\righ... ...errightarrow{\Psi_n}(z) +\int_z^wR_2\overrightarrow{\Psi_n}(s)ds\end{eqnarray*}$$

となるので,

$$\begin{eqnarray*}B_n &=& \left\vert\begin{array}{cc}\eta_n & \sigma_n\\ \wideh... ...\overrightarrow{\Psi}_n(s)\right\vert ds \\ &=& I_1+I_2+I_3+I_4\end{eqnarray*}$$

の形となる. なお, $I_j$ は, その前の式の項を一つずつ順番に 名付けることにする.

まずは $I_1$ から考える. (19) より,

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\overrightarrow{Q}(w)\ \overrightarrow{Q}(z)\right\ve... ...(w-z)\end{array}\right\vert \\ &=& (-1)^{m+1}\theta(w-z)u(w-z)^2\end{eqnarray*}$$

であり, これは $(w-z)^2$ を因数に含むので,

$$I_1 = v(w-z)(w-z)^2\left\vert\overrightarrow{\Psi}_n(w)\ \overrightarrow{\Psi}_n(z)\right\vert =v(w-z)J_1$$

とすると, $v(w-z)=(-1)^{m+1}\theta u(w-z)^2/(w-z)$ で, $W_n=n(w-a)$, $Z_n=n(z-a)$ により

$$\begin{eqnarray*}J_1 &=& (w-z)^2\left\vert\overrightarrow{\Psi}_n(w)\ \overrig... ...tarrow{\Psi}_0(W_n)\ Z_n^2\overrightarrow{\Psi}_0(Z_n)\right\vert\end{eqnarray*}$$

の形に変形でき, (16) と補題 3 により $w,z,a\in [z_1,w_1]$ に対する $J_1$ の一様有界性と 0 への収束性が 得られる. なお,

$$\overrightarrow{\Psi}_0(y)=\left[\begin{array}{c}\psi_0(y)\\ \widehat{\psi}_0(y)\end{array}\right]$$

とした. よって, $I_1$ は一様有界で, $n\rightarrow\infty$ のときに 0 に 収束する.

次は $I_4$ を考える. $I_4$ は二重積分の形にまとめているが, 実際には, $R_i\psi_n$ の積分と $\mbox{\sl R}_j\widehat{\psi}_n$ の積分の積の差の形に なっていて, よって, $R_j$ の連続性と補題 3 により $w,z,a\in [z_1,w_1]$ に対して一様有界で, その極限は,

$$I_4 \rightarrow R_1(a)R_2(a)\left\vert\begin{array}{cc}% \displ... ...yle \xi(w,z;\widehat{r},a)\int_z^w\widehat{\psi}_0dy\end{array}\right\vert = 0$$

となる.

あとは $I_2$, $I_3$ であるが, これらは 0 には収束しないので, 単独で考える代わりに, 連続関数 $h(a)$ をかけて $a$ で 積分したものを考える. まずは, $I_2$ から.

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_2da = \int_{\mbox{\scriptsize... ...\left\vert\overrightarrow{\Psi}_n(w)\ \overrightarrow{\Psi}_n(s)\right\vert ds$$

であるが, $a$ を $n(w-a)=y$ と置換し, $s$ を $n(w-s)=t$ と置換すると, $a=w-y/n$, $s=w-t/n$ で,

$$\overrightarrow{\Psi}_n(w) = n\overrightarrow{\Psi}_0(n(w-a))=n\o... ...ow{\Psi}_n(s) = n\overrightarrow{\Psi}_0(n(s-a))=n\overrightarrow{\Psi}_0(y-t)$$

となるので,

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_2da} \\ &=& \int... ...rightarrow{\Psi}_0(y)\ \overrightarrow{\Psi}_0(y-t)\right\vert dt\end{eqnarray*}$$

となるが, $z\leq w-t/n\leq w$ より $\left\vert\overrightarrow{Q}(w)\ \overrightarrow{R}\right\vert$ は $w,z\in[z_1,w_1]$ に関して有界, $h$ も有界で, $\psi_0,\widehat{\psi}_0\in L^1$ より

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}dy\int_0^\infty \mathop{\rm abs}\le... ...right)dt \leq 2\Vert\psi_0\Vert _{L^1}\Vert\widehat{\psi}_0\Vert _{L^1}<\infty$$

なので ( $\mathop{\rm abs}(x)$ は $x$ の絶対値), Lebesgue 収束定理により, $w>z$ では

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_2da \rightarrow h(w)\left\... ...left\vert\overrightarrow{\Psi}_0(y)\ \overrightarrow{\Psi}_0(y-t)\right\vert dt$$ (34)

に収束し, $w=z$ では 0 となることがわかる.

$h(a)I_3$ の積分も同様に,

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_3da = \int_{\mbox{\scriptsize... ...\left\vert\overrightarrow{\Psi}_n(s)\ \overrightarrow{\Psi}_n(z)\right\vert ds$$

で $a$ を $n(z-a)=y$ と置換し, $s$ を $n(s-z)=t$ と置換すると, $a=z-y/n$, $s=z+t/n$ で,

$$\overrightarrow{\Psi}_n(z) = n\overrightarrow{\Psi}_0(n(z-a))=n\o... ...ow{\Psi}_n(s) = n\overrightarrow{\Psi}_0(n(s-a))=n\overrightarrow{\Psi}_0(y+t)$$

より,

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_3da} \\ &=& \int... ...rightarrow{\Psi}_0(y+t)\ \overrightarrow{\Psi}_0(y)\right\vert dt\end{eqnarray*}$$

なので, $I_2$ の場合と同様に有界性が言え, その極限は, $w>z$ では

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)I_3da \rightarrow h(z)\left\... ...left\vert\overrightarrow{\Psi}_0(y+t)\ \overrightarrow{\Psi}_0(y)\right\vert dt$$ (35)

に収束し, $w=z$ では 0 となる.

(34), (35) の極限の値を 求めるために, $R_j$ の $w$, $z$ での値をまず計算する. (18), (22) より,

$$\begin{eqnarray*}R_1(s) &=& (-1)^{m+1}\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)... ...left(\frac{\partial}{\partial s}\right)^{m+1} (w-s)^{m+1}(s-z)^m\end{eqnarray*}$$

なので,

$$\left\{\begin{array}{ll} R_1(w) &\displaystyle = (-1)^{m+1}(m+1... ...m\theta(m+1)(-1)(m+1)(w-z)^mm! = (-1)^{m+1}\theta (m+1)^2u \end{array}\right.$$ (36)

となる. よって, (19), (36) により,

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\overrightarrow{Q}(w)\ \overrightarrow{R}(w)\right\ve... ...\ [.7zh] w-z & m+1\end{array}\right\vert \ =\ -\theta(m+1)u^2\end{eqnarray*}$$

となって, 同じ値となる. また, $I_6$ は, 置換して順序交換すれば,

$$\begin{eqnarray*}I_6 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}dy\int_0^\infty \left\... ...Psi}_0(s)\ \overrightarrow{\Psi}_0(s-t)\right\vert dt \ =\ I_5\end{eqnarray*}$$

となる. よって, これらを総合すると, $$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)B_nda$$ は $w,z\in[z_1,w_1]$ に関して一様有界で,

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)B_nda\rightarrow -\theta(m+1)u^2\{h(w)+h(z)\}I_5$$ (37)

となる.

$h(a)$ は $[z_1,w_1]$ の外では 0 なので, Fubini の定理より,

$$\left\langle\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)B_n da\right\rangle = \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)\langle B_n\rangle da$$ (38)

が成り立つが, 命題 4 より, この右辺は $n\rightarrow\infty$ に対して

$$\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)\langle B_n\rangle da = \int_{z_1}^{w_1}h(a)\langle B_n\rangle da \rightarrow 0$$

となる. また, (38) の左辺は (37) と Lebesgue 収束定理より

$$\left\langle\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}h(a)B_n da\right\rangle \rightarrow -\theta(m+1)I_5\langle u(w-z)^2\{h(w)+h(z)\}\rangle$$

となる. よって, (32) を満たし, かつ $I_5\neq 0$ となる $\psi_0$, $\widehat{\psi}_0$ が取れれば,

$$\langle(w-z)^{2m}\{h(w)+h(z)\}\rangle =0$$ (39)

が得られることになる.

そのような $\psi_0$, $\widehat{\psi}_0$ の存在は, 以下のように保証される. 例えば 0 ではない $\psi_0,\psi_1$ を $\psi_0,\psi_1\in\mathcal{S}$ (= 急減少関数の族) で

$$\psi_0\geq 0, \hspace*{2em}\psi_1(0)=0, \hspace*{2em}\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)\psi_1(y)dy\neq 0$$ (40)

なるものと取る. それに対して $\widehat{\psi}_0(y)=\psi_0(y)+\psi_1'(y)$ とすると, これらは (16) を満たし,

$$\begin{eqnarray*}\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)dy &>& 0, \\ \int... ...^\infty\psi_0(y)dy - \psi_1(0) \\ &=& \int_0^\infty\psi_0(y)dy\end{eqnarray*}$$

なので $r=\widehat{r}$ となり, また

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left\vert\overrightarrow{\Psi}_0(y)\ \overrightarrow{... ...y}\right\vert \ =\ \psi_0(y)\psi_1'(y-t)-\psi_1'(y)\psi_0(y-t)\end{eqnarray*}$$

より,

$$\begin{eqnarray*}I_5 &=& \int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}dy\int_0^\infty \{\psi... ...(s)dy \ =\ 2\int_{\mbox{\scriptsize\sl R}}\psi_0(y)\psi_1(y)dy\end{eqnarray*}$$

となるので $I_5\neq 0$ となる. 実際に (40) を満たす $\psi_0,\psi_1$ としては, 例えば

$$\psi_0(y)=e^{-y^2},\hspace*{2em}\psi_1(y)=y^2e^{-y^2}$$ (41)

などがある.