2.3 速度と流量

時刻 $t$ での $x$ における気体の速度を $u(t,x)$ とするが、 2.2 節同様、局所化する前の量での表現を考えてみる。

速度 $u(t,x)$ に対しては位置の移動が局所化の前の量であり、 時刻が $t=s$ のときに $x=\xi$ にあった気体の $t=T$ での位置を $x=X(T;s,\xi)$ と書くことにすると、 $X(s;s,\xi)=\xi$ であり、 また任意の $t_1\leq t_2\leq t_3$ に対して、

$$X(t_3;t_2,X(t_2;t_1,\xi))=X(t_3;t_1,\xi)$$ (2.4)

を満たす。

速度 $u(t,x)$ は、位置の時間に関する微分であるから、

$$\begin{eqnarray*}u(t,x) &=& \lim_{\Delta t\rightarrow +0} \frac{X(t+\Delta t;... ...t,x)}{\Delta t} \\ &=& \frac{\partial\, X}{\partial\, T}(t;t,x)\end{eqnarray*}$$

と書ける。一方で、$x=X(t;s,\xi)$ の $t$ に関する微分を考えると、 (2.4) より

$$\frac{\partial}{\partial\, t}X(t;s,\xi) = \lim_{\Delta t\rightarrow +0} \frac{X(t+\Delta t;s,\xi)-X(t;s,\xi)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\rightarrow +0} \frac{X(t+\Delta t;t,x)-x}{\Delta t}$$

$$= u(t,x) = u(t,X(t;s,\xi))$$ (2.5)

となるので、この式を $s$ から $T$ まで積分すれば、

$$X(T;s,\xi) = \xi + \int_s^T u(t,X(t;s,\xi)) dt$$

となる。

さて、今 $c\leq t\leq d$ に対して $b=X(d;c,a)$、 すなわち $t=c$ のときに $x=a$ にあった気体が $t=d$ のときにいる位置を $x=b$ とすると、 $x=a$ をこの間に通過した質量 $N^1_{[c,d]}(a)$ は、 $t=d$ のときに $x=a$ から $x=b$ までの間に存在する 気体の質量に等しい。よって、

$$N^1_{[c,d]}(a)=M^1_{[a,b]}(d),\hspace{1zw}b=X(d;c,a)$$ (2.6)

となるので、$d$ を $t$, $a$ を $x$ と置き換えて、 この (2.6) を $\bar{N}^1$, $\bar{M}^1$ で書き直せば、

$$\bar{N}^1(t,x)-\bar{N}^1(c,x)=\bar{M}^1(t,X(t;c,x))-\bar{M}^1(t,x)$$

となり、この両辺を $t$ で微分すれば、 (2.3), (2.5) より、

$$\begin{eqnarray*}q(t,x) &=& \frac{\partial\, \bar{N}^1}{\partial\, t}(t,x) = ... ...) u(t,X(t;c,x)) -\frac{\partial\, \bar{M}^1}{\partial\, t}(t,x)\end{eqnarray*}$$

となるが、 $c\rightarrow t-0$ とすると $X(t;c,x)\rightarrow X(t;t,x)=x$ となるので、

$$q(t,x)=\rho(t,x) u(t,x)$$ (2.7)

が得られる。