3.8 バロトロピックのラグランジュ座標系の場合の例

3.7 節と同様に、 ラグランジュ座標系の方程式系 (2.19) の圧力を $P=P(v)$ と見て、最初の 2 本のみ (いわゆる $P$-system) を同様に考察する。 この場合も通常は $P=Av^{-\gamma}$ ($1\leq\gamma<3$) を想定していて、

$$P'(v)<0,\hspace{1zw}P''(v)>0$$

を仮定することが多い。

方程式を $U={\,}^T\!(v,u)$ で書けば

$$\left[\begin{array}{c}v\\ u\end{array}\right]_t +\left[\begi... ...ray}\right] \left[\begin{array}{c}v\\ u\end{array}\right]_x =0$$

で、$P'<0$ であれば固有値は

$$\lambda_1=-\sqrt{-P'(v)}, \hspace{1zw} \lambda_2=\sqrt{-P'(v)}$$

であり、固有ベクトルは

$$r_1=\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{-P'(v)}\end{array}\right... ...r_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{-P'(v)}\end{array}\right]$$

で、

$$\nabla_U\lambda_1 r_1=\nabla_U\lambda_2 r_2=\frac{P''}{2\sqrt{-P'}}$$

より、$P''>0$ であれば 1-特性方向、2-特性方向は真性非線形となる。

リーマン不変量は、

$$\nabla_U w\cdot r_1(U)= w_v+\sqrt{-P'(v)}w_u =\sqrt{-P'(v)}\left(\frac{1}{\sqrt{-P'}}w_v+w_u\right)=0$$

より、

$$\frac{d v}{d s}=\frac{1}{\sqrt{-P'}},\hspace{1zw}\frac{d u}{d s}=1$$

から、

$$\int_{v_0}^v\sqrt{-P'(\xi)}d\xi = s, \hspace{1zw}u-u_0=s$$

となるので、

$$u-\int_{a}^v\sqrt{-P'(\xi)}d\xi$$

が 1-リーマン不変量となる。 $P=Av^{-\gamma}$ ($\gamma\geq 1$) の場合は、

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u+\frac{\sqrt{A\gamm... ...-\sqrt{A}\log v & (\mbox{$\gamma=1$\ の場合})\end{array}\right.$$

となる。 ここから、3 本の連立方程式の場合と同様、 オイラー座標系の場合のリーマン不変量に対応していることがわかる。

2-リーマン不変量も同様に

$$u+\int_{a}^v\sqrt{-P'(\xi)}d\xi$$

と得られる。

1-膨張波曲線 $R_1(U_0)$ は、

$$u=u_0+\int_{v_0}^v\sqrt{-P'(\xi)}d\xi\hspace{1zw}(v\geq v_0,\ u\geq u_0)$$ (3.48)

2-膨張波曲線 $R_2(U_0)$ は、

$$u=u_0-\int_{v_0}^v\sqrt{-P'(\xi)}d\xi\hspace{1zw}(v\leq v_0,\ u\geq u_0)$$ (3.49)

となる。

図 3.6: $(v,u)$ 平面での膨張波曲線 $R_1(U_0)$, $R_2(U_0)$

$P=Av^{-\gamma}$ ($\gamma\geq 1$) の場合、 $v\rightarrow +0$ のときは $R_2(U_0)$ は $\gamma=1$ でも $\gamma>1$ でも $u\rightarrow\infty$ となるが、 $v\rightarrow\infty$ のときの $R_1(U_0)$ は、 $\gamma=1$ と $\gamma>1$ では様子が異なり、

$$u\rightarrow \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_0+\fr... ...[.5zh] +\infty & (\mbox{$\gamma=1$\ のとき})\end{array}\right.$$

となる。

また、$R_1(U_0)$ の場合は (3.29) より、

$$\frac{d U}{d v}=\frac{d}{d v}\left[\begin{array}{c}v\\ u\end... ...=\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{-P'}\end{array}\right]=r_1(U)$$

$R_2(U_0)$ の場合は (3.30) より、

$$\frac{d U}{d v}=\frac{d}{d v}\left[\begin{array}{c}v\\ u\end... ...left[\begin{array}{c}1\\ -\sqrt{-P'}\end{array}\right]=-r_2(U)$$

なので、$v=v_0+\delta$, $v=v_0-\delta$ とすれば $\delta\geq 0$ で、

$$\frac{d U}{d \delta}=r_j(U)$$

が成り立つ。

$R_1(U_0)$ を $(t,x)$ で表わすには、

$$\lambda_1(U)=-\sqrt{-P'(v)}=\frac{x}{t}$$

を $v$ で解けば $(t,x)$ で表わされ、 それを (3.29) に代入すれば $u$ も $(t,x)$ で 表される。 同様に $R_2(U_0)$ も、

$$\lambda_2(U)=\sqrt{-P'(v)}=\frac{x}{t}$$

を $v$ で解いて、それを (3.30) に 代入すれば $v$, $u$ が $(t,x)$ で表される。

例えば、 $P=Av^{-\gamma}$ ($1<\gamma<3$) の場合、$R_1(U_0)$ は

$$\sqrt{A\gamma}v^{-1-\theta}=-\frac{x}{t}$$

より

$$v=\left(-\frac{1}{\sqrt{A\gamma}}\,\frac{x}{t}\right)^{-1/(1+\theta)} \hspace{1zw}(x<0)$$

であり、$u$ は

$$u=u_0-\frac{\sqrt{A\gamma}}{\theta}(v^{-\theta}-v_0^{-\theta})$$

にそれを代入して得られる。