4 一般の錐体の場合の極座標公式

3 節の錐体は、円錐を斜めに切ったものであり、 この場合は展開図は簡単に極座標表示できたが、 斜円錐、すなわち底面が円で、 頂点がその中心の真上にない点である錐体の場合は、 展開図を与える式はそのように簡単にはならない。 それは、$C$ のパラメータ $t$ と 展開図の極座標の中心角 $\theta$ との間に (3) のような簡単な関係式が成り立たないからである。

本節では、まず一般的な錐体に対してその $t$ と $\theta$ の関係式を求め、 展開図の極座標による表現式を与えることを考える。

まず、$C$ 上の点をパラメータ $t$ を用いて $\mathrm{Q}=\mathrm{Q}(t)$ ( $t_0\leq t\leq t_1$) で表し ( $\mathrm{Q}(t_0)=\mathrm{Q}(t_1)$)、

$$\mbox{\boldmath$q$}(t)=\overrightarrow{\mathrm{PQ}(t)} = (q_x(t),q_y(t),q_z(t))$$

とし、その母線の長さを

$$\rho(t)=\vert\mbox{\boldmath$q$}(t)\vert=\vert\overrightarrow{\mathrm{PQ}(t)}\vert$$

とする (図 6)。

図: $\mbox{\boldmath $q$}(t)$
図 7: その展開図

そして、側面を母線 $\mathrm{PQ}(t_0)$ で切り開いた展開図は、 頂点 $\mathrm {P}$ を原点に合わせ、 $\mathrm{PQ}(t_0)$ を $x$ 軸に合わせ、 曲線 $C$ に対応する展開図の曲線を $\hat{C}$ とし、 $C$ 上の点 $\mathrm{Q}(t)$ に対応する展開図上の点を $\hat{\mathrm{Q}}(t)$ とする (図 7)。 この $\hat{C}$ を極座標表示することを考える。

今、 $\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t)=\overrightarrow{\mathrm{O}\hat{\mathrm{Q}}(t)}$ とすると、まず

$$\vert\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t)\vert=\rho(t)=\vert\mbox{\boldmath$q$}(t)\vert$$ (7)

であり、そして $\hat{\mathrm{Q}}(t)$ を決めるもう一つの条件は、 $C$ 上の弧 $\mathrm{Q}(t_0)\mathrm{Q}(t)$ の長さが、 $\hat{C}$ 上の弧 $\hat{\mathrm{Q}}(t_0)\hat{\mathrm{Q}}(t)$ の 長さに等しいことであり、それは、

$$\int_{t_0}^t\vert\hat{\mbox{\boldmath$q$}}'(s)\vert ds=\int_{t_0}^t\vert\mbox{\boldmath$q$}'(s)\vert ds$$

と書けるので、この両辺を $t$ で微分すれば、

$$\vert\hat{\mbox{\boldmath$q$}}'(t)\vert=\vert\mbox{\boldmath$q$}'(t)\vert$$ (8)

となる。この (7), (8) と、 初期条件

$$\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t_0)=(0,\rho(t_0))$$ (9)

によって $\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t)$、すなわち $\hat{\mathrm{Q}}(t)$ が決まることになる。

$\hat{\mathrm{Q}}(t)$ を極座標 $r$, $\theta$ で表すことを考え、

$$\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t)=r(\cos\theta,\sin\theta)$$ (10)

とすると、$r$ と $\theta$ を $t$ で表すことができる。 その $t$ を消去すれば、展開図 $\hat{C}$ を $r=r(\theta)$ の形の 極座標で表すことができることになる。

まず、(7) より

$$r=\vert\hat{\mbox{\boldmath$q$}}(t)\vert=\rho(t)$$ (11)

であり、 $\theta=\theta(t)$ とすると、(10) より、

$$\hat{\mbox{\boldmath$q$}}'(t) =\{\rho(t)(\cos\theta(t),\sin\... ...ho'(\cos\theta,\sin\theta)+\rho(-\sin\theta,\cos\theta)\theta'$$

となるので、

$$\vert\hat{\mbox{\boldmath$q$}}'(t)\vert^2 = (\rho')^2\vert(\... ...ert(-\sin\theta,\cos\theta)\vert^2 = (\rho')^2+(\rho\theta')^2$$

より、(8) から

$$(\rho')^2+(\rho\theta')^2 = \vert\mbox{\boldmath$q$}'\vert^2$$ (12)

となる。 ここで、(7) より、

$$\rho(t)^2=\vert\mbox{\boldmath$q$}(t)\vert^2 = \mbox{\boldmath$q$}(t)\cdot\mbox{\boldmath$q$}(t)$$

であるから、これを微分すれば

$$2\rho\rho'= 2\mbox{\boldmath$q$}\cdot\mbox{\boldmath$q$}'$$

となるので、

$$\rho'= \frac{\mbox{\boldmath$q$}\cdot\mbox{\boldmath$q$}'}{\... ...h$q$}\cdot\mbox{\boldmath$q$}'}{\vert\mbox{\boldmath$q$}\vert}$$

と書ける。よって (12) より

$$\begin{eqnarray*}(\rho\theta')^2 &=& \vert\mbox{\boldmath$q$}'\vert^2-(\rho')^... ... は $\mbox{\boldmath$q$}$ と $\mbox{\boldmath$q$}'$ のなす角})\end{eqnarray*}$$

となるから、題意より $\theta'>0$ なので、

$$\theta' = \frac{\vert\mbox{\boldmath$q$}\times\mbox{\boldma... ...mes\mbox{\boldmath$q$}'\vert}{\vert\mbox{\boldmath$q$}\vert^2}$$

となり、$\theta(t_0)=0$ より結局 $\theta(t)$ は

$$\theta(t) =\int_{t_0}^t \frac{\vert\mbox{\boldmath$q$}\times\mbox{\boldmath$q$}'\vert}{\vert\mbox{\boldmath$q$}\vert^2} dt$$ (13)

と表されることになる。

この (11), (13) から $t$ を消去する、 あるいは $r$, $\theta$ のパラメータ $t$ による表現により $\hat{C}$ が得られるわけであるが、 この積分 (13) の計算は必ずしも易しくはないことに注意する。

今、3 節の例にこれを適用してみよう。 この場合は、(6) の右辺が $\mbox{\boldmath$q$}(t)$ なので、 簡単のため、

$$\beta(t)=\frac{h\tan\alpha}{h\tan\alpha-a\cos t}$$

とすると $\mbox{\boldmath$q$}(t)=\beta(t)(a\cos t,a\sin t,-h)$ であるから、

$$\mbox{\boldmath$q$}'(t)=\beta'(a\cos t,a\sin t,-h)+\beta(-a\sin t,a\cos t,0)$$

であるから、

$$\mbox{\boldmath$q$}\times\mbox{\boldmath$q$}' =\beta^2(a\co... ...,-h)\times(-a\sin t,a\cos t,0) =\beta^2(ah\cos t,ah\sin t,a^2)$$

となる。よって、$\beta>0$ より

$$\frac{\vert\mbox{\boldmath$q$}\times\mbox{\boldmath$q$}'\ver... ...\sqrt{a^2h^2+a^4}}{\beta^2(a^2+h^2)} =\frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}$$

となるので、(13) より

$$\theta=\int_0^t \frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} dt = \frac{at}{\sqrt{a^2+h^2}}$$

となり、 確かに 3 節の (3) が得られることになる。