5 y3 の場合

次は、$y_3$ の場合を考えてみる。$1\leq k\leq L$ に対し (5) より、

$$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_3=k\} &=& \mathrm{Prob}\{\lfloor p_3L\rfloor... ... \ &=& \mathrm{Prob}\{(k-1)(R_M+1)/L-0.5\leq x<k(R_M+1)/L-0.5\}\end{eqnarray*}$$

となるが、 $(k-1)(R_M+1)/L-0.5\geq -0.5$, $k(R_M+1)/L-0.5<R_M+1$ なので、やはり補題 1 により、

$$\mathrm{Prob}\{y_3=k\}=\frac{1}{R_M+1}\left\{ \left\lceil\f... ...eil -\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)-0.5\right\rceil \right\}$$

となる。よってこの分子を $\beta_k$ とすれば、 補題 2 により この $\beta_k$ も (17) 同様

$$\left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil-1 \leq\beta_k\leq \left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil$$

を満たすことがわかり、 よって $y_3$ も最適な均等配分のひとつであることがわかる。

なお、 $\alpha_k=\lceil(R_M+1)/L\rceil$ となる $k$ の個数と $\beta_k=\lceil(R_M+1)/L\rceil$ となる $k$ の個数は同じになるが、 そのような $k$ の集合自体が一致するわけではないので (例えば $L=3$ で考えよ)、$y_2$ と $y_3$ が一致するわけではない。

同様にすれば、一般に、$0\leq \mu<1$ である実数定数 $\mu$ に対し、

$$p_5=\frac{x+\mu}{R_M+1},\hspace{1zw} y_5=\lfloor p_5L+1\rfloor$$ (18)

も、$y_3$ と同じ議論により、 $y_2$ と同じく最良の均等配分になることがわかる。