2.3 極座標の微分での表現

次は (2), (3), (4) を $f_x$, $f_y$, $f_z$ の連立方程式とみて解くことで、 $f_x$, $f_y$, $f_z$ を極座標の微分 $g_r$, $g_\phi$, $g_\theta$ で表現する。

まず、(3) より

$$-f_x\sin\phi+f_y\cos\phi = g_\phi \frac{1}{r\cos\theta}$$ (5)

(4) より

$$-f_x\cos\phi\sin\theta - f_y\sin\phi\sin\theta + f_z\cos\theta = g_\theta\frac{1}{r}$$ (6)

となるので、 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ を用いれば (2) $\times\cos\theta-$(6) $\times\sin\theta$ により、

$$f_x\cos\phi+f_y\sin\phi = g_r\cos\theta-g_\theta\frac{\sin\theta}{r}$$ (7)

となる。よって、 (7) $\times\cos\phi-$(5) $\times\sin\phi$ により

$$f_x = g_r\cos\phi\cos\theta -g_\phi \frac{\sin\phi}{r\cos\theta} -g_\theta\frac{\cos\phi\sin\theta}{r}$$ (8)

と $f_x$ が得られ、 (7) $\times\sin\phi+$(5) $\times\cos\phi$ により

$$f_y = g_r\sin\phi\cos\theta +g_\phi \frac{\cos\phi}{r\cos\theta} -g_\theta\frac{\sin\phi\sin\theta}{r}$$ (9)

と $f_y$ が得られる。$f_z$ は、 (2) $\times\sin\theta +$ (6) $\times\cos\theta$ により

$$f_z = g_r\sin\theta +g_\theta\frac{\cos\theta}{r}$$ (10)

となる。これで $f$ の微分が $g$ の微分で表されたことになる。