3 各状態の比率の継承

次に、各状態の分布 (比率) が、どのように次の世代に継承されるか、 ということを考えてみる。

簡単のため、男女は同数であるとし、 各夫婦は $X$, $\bar{X}$ の状態にかかわらず 同程度の子を作ると考えることにする。

男性の $\bar{X}Y$ の割合を $A$ とし、 よって $XY$ の割合を $1-A$ とする。 同様に、女性の $\bar{X}\bar{X}$ の割合を $B$, $\bar{X}X$ の割合を $C$ とし、 よって、$XX$ の割合を $1-B-C$ とする。

このとき、次の子の世代のそれぞれの割合を求めることにする。 子の世代の割合を、ここでは $A'$, $B'$, $C'$ のように書くことにする。

1. $\bar{X}Y$ と $\bar{X}\bar{X}$ の子の場合

   まず、このような親の組み合わせの割合は、 男女それぞれの比率が $A$,$B$ なので、 すべての夫婦に対して $AB$ の割合で起こることに注意する。

   そして、この場合は、子には

   $$\bar{X}\bar{X},\hspace{1zw} \bar{X}\bar{X},\hspace{1zw} Y\bar{X}\hspace{1zw}, Y\bar{X}$$

   
   の 4 通り、つまり実質 2 通りが現れる。 つまり、子の世代での男性のうち、$Y\bar{X}$ の割合 $A'$ には、 この親の組合せの割合である $AB$ が、 女子のうち $\bar{X}\bar{X}$ の割合 $B'$ にも $AB$ が含まれることになる。

   なお、$Y\bar{X}$ になるか $\bar{X}\bar{X}$ になるかは 1/2 であるから、 $AB$ ではなく $AB/2$ ではないかと思うかもしれないが、 $A'$ は、「男性のうちの」$Y\bar{X}$ の割合であるから、 1/2 をつける必要はない。

2. $\bar{X}Y$ と $\bar{X}X$ の子の場合 (夫婦の割合は $AC$)

   この場合は、子供は

   $$\bar{X}\bar{X},\hspace{1zw} \bar{X}X,\hspace{1zw} Y\bar{X},\hspace{1zw} YX$$

   
   の 4 種類が同程度に起こりうる。 この夫婦の割合は $AC$ なので、 $B'$ に $AC/2$, $C'$ に $AC/2$, $A'$ に $AC/2$, $1-A'$ に $AC/2$ が 含まれることになる。

3. $\bar{X}Y$ と $XX$ の子の場合 (夫婦の割合は $A(1-B-C)$)

   この場合は、

   $$\bar{X}X,\hspace{1zw} \bar{X}X,\hspace{1zw} YX,\hspace{1zw} YX$$

   
   の実質 2 種類なので、 $C'$ と $1-A'$ に $A(1-B-C)$ が含まれる。

4. $XY$ と $\bar{X}\bar{X}$ の子の場合 (夫婦の割合は $(1-A)B$)

   この場合は、

   $$X\bar{X},\hspace{1zw} X\bar{X},\hspace{1zw} Y\bar{X},\hspace{1zw} Y\bar{X}$$

   
   の実質 2 種類なので、 $C'$ と $A'$ に $(1-A)B$ が含まれる。

5. $XY$ と $\bar{X}X$ の子の場合 (夫婦の割合は $(1-A)C$)

   この場合は、

   $$X\bar{X},\hspace{1zw} XX,\hspace{1zw} Y\bar{X},\hspace{1zw} YX$$

   
   の 4 種類なので、 $C'$, $1-B'-C'$, $A'$, $1-A'$ に $(1-A)C/2$ が含まれる。

6. $XY$ と $XX$ の子の場合 (夫婦の割合は $(1-A)(1-B-C)$)

   この場合は、

   $$XX,\hspace{1zw} XX,\hspace{1zw} YX,\hspace{1zw} YX$$

   
   の 2 種類なので、 $1-B'-C'$, $1-A'$ に $(1-A)(1-B-C)$ が含まれる。

結局以上により、

$$\begin{eqnarray*}A' &=& AB+\frac{1}{2}AC+(1-A)B+\frac{1}{2}(1-A)C, \\ 1-A' ... ...rac{1}{2}(1-A)C \\ 1-B'-C' &=& \frac{1}{2}(1-A)C+(1-A)(1-B-C)\end{eqnarray*}$$

が得られることになる。それぞれ展開すると、

$$A' = B+\frac{1}{2}C$$ (1)

$$1-A' = 1-B-\frac{1}{2}C$$ (2)

$$B' = AB+\frac{1}{2}AC$$ (3)

$$C' = A+B+\frac{1}{2}C-2AB-AC$$ (4)

$$1-B'-C' = 1-A-B-\frac{1}{2}C+AB+\frac{1}{2}AC$$ (5)

となる。 (1), (2) の右辺の和、 (3), (4), (5) の右辺の和が それぞれ 1 となることは容易に確認できるだろう。

この (1)-(5) を用いれば、 親から次の世代への割合の継承が計算できることになる。

例えば、$A=0.4$, $B=0.6$, $C=0.2$ の場合、

$$\begin{eqnarray*}A' &=& 0.6+0.1=0.7,\\ B' &=& 0.24+0.04 = 0.28,\\ C' &=& 0.4+0.6+0.1-0.48-0.08=0.54\end{eqnarray*}$$

のようになる。同様に、孫の世代まで計算すれば、表 1 のようになる。

表 1: $A=0.4$, $B=0.6$, $C=0.2$ の場合

	男性		女性
	$A$ ($Y\bar{X}$)	$1-A$ ($YX$)	$B$ ( $\bar{X}\bar{X}$)	$C$ ($\bar{X}X$)	$1-B-C$ ($XX$)
親	0.4	0.6	0.6	0.2	0.2
子	0.7	0.3	0.28	0.54	0.18
孫	0.55	0.45	0.385	0.48	0.135