3 地球のような星の場合

地球のような星の場合、$V$ は球で¹、 さらに、その質量は中心から層状に対称に分布すると考えられるので、 地球の中心を原点 O とすれば、 $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$ は $r=\vert\mbox{\boldmath$x$}\vert$ のみの関数

$$\psi(\mbox{\boldmath$x$}) = \rho(r)$$

と見ることができる²。 この条件の元で (1) を 極座標変換を用いて計算してみる。

$V$ は半径 $R$ の球であるとし、極座標を

$$\begin{array}{ll} \mbox{\boldmath$x$} &= (r\cos\phi\cos\th... ... < 2\pi, \hspace{0.5zw}-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2) \end{array}$$ (2)

のように導入する。 ここで、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$, $\mbox{\boldmath$e$}_2$, $\mbox{\boldmath$e$}_3$ は 互いに直交する単位ベクトルとするが、 軸方向の基本ベクトルと取る必要はないので、 計算を簡単にするため、 $\mbox{\boldmath$e$}_3$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の方向に取り、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$, $\mbox{\boldmath$e$}_2$ はそれに応じて取り直すこととする。 ただし、A = O の場合は後で別に考えることとし、 まずは $\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\neq 0$ の場合を考える。 この場合は、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\mbox{\boldmath$e$}_3$ となることに注意する。

まずはこの変数変換のヤコビアン $D(\mbox{\boldmath$x$})/D(r,\phi,\theta)$ であるが、 これは

$$\begin{eqnarray*}\frac{D(\mbox{\boldmath$x$})}{D(r,\phi,\theta)} &=& \left\ver... ...sin^2\phi\cos^2\theta) \ &=& r^2\cos\theta\hspace{1zw}(\geq 0)\end{eqnarray*}$$

となる。また、

$$\mbox{\boldmath$x$} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = (r\cos... ...a-\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert)\mbox{\boldmath$e$}_3$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\vert\mbox{\boldmath$x$} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2 ... ...thrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2\end{eqnarray*}$$

となるので、(1) は極座標 (2) により 以下のようになる:

$$\mbox{\boldmath$F$} = mG\int\!\!\int\!\!\int _W \rho(r)\frac{(r\cos\phi\cos\theta)\mb... ...ow{\mathrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}}$$

$$\times r^2\cos\theta dr d\phi d\theta$$ (3)

ここで、 $W=\{(r,\phi,\theta); 0\leq r\leq R,\hspace{0.5zw}0\leq\phi < 2\pi, \hspace{0.5zw}-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2\}$ であり、

$$\int_0^{2\pi}\cos\phi d\phi = \int_0^{2\pi}\sin\phi d\phi = 0$$

なので、 $\mbox{\boldmath$F$}$ の $\mbox{\boldmath$e$}_1$, $\mbox{\boldmath$e$}_2$ 方向成分は 0 となり、 よって $\mbox{\boldmath$e$}_3$ 成分のみ残ることになるが、 これは $\phi$ にはよらないので、

$$\mbox{\boldmath$F$} = 2\pi mG\mbox{\boldmath$e$}_3\int_0^... ...theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}} d\theta$$ (4)

となる。 今、$f(t)$ ($t>0$) を、

$$f(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(t\sin\theta-1)\cos\theta}% {(t^2-2t\sin\theta+1)^{3/2}} d\theta$$ (5)

とすると、

$$f\left(\frac{r}{\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert}\righ... ...heta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}} d\theta$$

なので、(4) は $f(t)$ を用いて

$$\mbox{\boldmath$F$} = \frac{2\pi mG}{\vert\overrightarrow{\... ...\left(\frac{r}{\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert}\right)dr$$ (6)

と書けることになる。

$f(t)$ を積分するために $u=t^2-2t\sin\theta+1$ と置換すると、

$$t\sin\theta-1 = \frac{t^2+1-u}{2}-1 = \frac{t^2-1-u}{2}, \hspace{1zw}\cos\theta d\theta = -\frac{1}{2t} du$$

より、$t\neq 1$ のとき $f(t)$ は

$$\begin{eqnarray*}f(t) &=& \int_{t^2+2t+1}^{t^2-2t+1}\frac{t^2-1-u}{2u^{3/2}} ... ...ox{ のとき}),\\ -2 & (0<t<1 \mbox{ のとき}) \end{array}\right.\end{eqnarray*}$$

と計算される。よって、これを (6) に代入すると、結局

$$\mbox{\boldmath$F$} = -\frac{4\pi mG}{\vert\overrightarrow... ...m{OA}}$}\vert}\rho(r)r^2dr \hspace{1zw}(a\wedge b=\min\{a,b\})$$ (7)

と書けることになる。

さらに、地球の中心から半径 $s$ ($>0$) までの部分の球の質量を $\hat{M}(s)$ と書くことにすると、

$$\hat{M}(s) = \int_{0<r<s}\rho(r) dv = \int_0^s dr\int_{-\pi/... ..._0^{2\pi}\rho(r)r^2\cos\theta d\phi = 4\pi\int_0^s\rho(r)r^2dr$$

となるので、これを用いれば (7) は、

$$\mbox{\boldmath$F$} = -\frac{m\hat{M}(R\wedge\vert\overrig... ...vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2} \mbox{\boldmath$e$}_3$$ (8)

と書くこともできる。

なお、A=O の場合は $(r^2-2r\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}=r^3$ となるので、 (3) は、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$} &=& mG\int\!\!\int\!\!\int _W \rho(r)(\... ...\boldmath$e$}_2 + 0\mbox{\boldmath$e$}_3) = \mbox{\boldmath$0$}\end{eqnarray*}$$

となる。 しかも、この計算は、 $\mathrm{A}\in V$ の場合の広義積分が 発散せずに収束することも示していることに注意する。 $\mathrm{A}\in V$ の場合、A を中心とする小さな球 (A の近傍) の積分は、 A を中心とする極座標で積分すれば、 $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$ が $\rho(r)$ ではなく $r,\phi,\theta$ に依存する関数となるので $\mbox{\boldmath$0$}$ にはならないが、 それ以外は上の計算とほぼ同じで分母の $r$ は分子の $r$ と 丁度約分されてしまうので、積分は発散せずに収束することがわかる。