7 境界条件を満たす解とその一意性

本節では、いよいよ元の問題の境界条件 (5) を 満たす解を考えることにする。

$$L=\pi\frac{H}{2}$$ (36)

の場合は、これまでの考察から、

$$f(x)=H-\frac{H}{2}\,\mathrm{cyc}\left(\frac{2}{H}\,x\right)$$ (37)

が丁度境界条件 (5) を満たす解 (のひとつ) となる。

では、(36) ではない場合はどうだろうか。 $f(x)=H-\alpha\mathrm{cyc}(x/\alpha)$ が B を通る条件は、 $H-\alpha\mathrm{cyc}(L/\alpha)=0$, すなわち $y=\alpha\mathrm{cyc}(x/\alpha)$ が 点 ($L,H$) を通ることと同じであるが、 もし、 $y=\alpha\mathrm{cyc}(x/\alpha)$ の曲線が、 複数の $\alpha$ に対して交差することがあれば、 A, B を通る逆さサイクロイドが 2 つ存在してしまう可能性があるが、 $y=\alpha\mathrm{cyc}(x/\alpha)$ ( $0<x<2\alpha\pi$) のグラフを 複数の $\alpha$ について書いてみると図 6 の ようになり、交差がないだろうことが予想できる。

図 6: 複数の $\alpha$ に対するサイクロイド関数のグラフ

これらの関数のグラフに交差がなく、第 1 象限を埋めつくしていることを 以下でちゃんと示してみる。 すなわち、任意の $x_0>0$, $h_0>0$ に対して、

$$h_0 = \alpha_0\mathrm{cyc}\left(\frac{x_0}{\alpha_0}\right)$$ (38)

となる $\alpha_0>0$ が常に存在し、 かつそのような $\alpha _0$ はただ一つしかないことを示す。

(38) をパラメータで表せば、

$$\left\{\begin{array}{l} x_0 = \alpha_0(\theta_0-\sin\theta... ...ight. \hspace{1zw}(\alpha_0>0, \hspace{0.5zw}0<\theta_0<2\pi)$$ (39)

となるので、$x_0$, $h_0$ に対し、 このような $\alpha _0$, $\theta_0$ がただ一組存在することを示せばよい。 (39) より、

$$\frac{x_0}{h_0} = \frac{\theta_0-\sin\theta_0}{1-\cos\theta_0}$$ (40)

となるが、まずこれを満たす $\theta_0$ が一意に存在することを示す。 そのために、今

$$p_1(\theta) = \frac{\theta-\sin\theta}{1-\cos\theta} \hspace{1zw}(0<\theta<2\pi)$$

という関数を考える。 $\theta\rightarrow +0$ では、

$$p_1(\theta) = \frac{\theta^3/6+O(\theta^5)}{\theta^2/2+O(\t... ...theta^3)\right)\{1+O(\theta^2)\} =\frac{\theta}{3}+O(\theta^3)$$

なので $p_1(+0)=0$ で、また $p_1(2\pi-0)=+\infty$ も容易にわかるので、 あとは $p_1'(\theta)>0$ ($0<\theta<2\pi$) を示せば、 $p_1$ が $(0,2\pi)$ から $(0,\infty)$ の 1 対 1 の関数であることになり、 よって (40) を満たす $\theta_0$ がただ一つ、 常に存在することがわかる。

$$p_1' = \frac{(1-\cos\theta)^2-(\theta-\sin\theta)\sin\theta... ...)^2} = \frac{2-2\cos\theta-\theta\sin\theta}{(1-\cos\theta)^2}$$

となるが、この分子を $p_2(\theta)=2-2\cos\theta-\theta\sin\theta$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}p_2' &=& 2\sin\theta-\sin\theta-\theta\cos\theta = \sin\the... ...' &=& \cos\theta-\cos\theta+\theta\sin\theta =\theta\sin\theta\end{eqnarray*}$$

より、$p_2'$ の増減表は以下のようになる。

$\theta$	0	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$p_2''$	0	$+$	0	$-$	0
$p_2'$	0	$\nearrow$	$\pi$	$\searrow$	$-2\pi$

よって、$p_2'(\beta)=0$, $\pi<\beta<2\pi$ となる $\beta$ があり、 それを境に $p_2'$ の符号が変わるので、$p_2$ の増減表は以下のようになる。

$\theta$	0	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$	$2\pi$
$p_2'$	0	$+$	0	$-$
$p_2$	0	$\nearrow$		$\searrow$	0

よって $p_2(\theta)>0$ ($0<\theta<2\pi$) となることがわかり、 $p_1'>0$、すなわち $p_1$ が $0<\theta<2\pi$ で単調なことが示され、 (40) となる $\theta_0$ の一意存在が示された。

$\alpha _0$ の方は、(39) により

$$\alpha_0 = \frac{h_0}{1-\cos\theta_0}$$

と一意に決定する。よって、これにより (39) を 満たす $\alpha _0$, $\theta_0$ が、ただ一組、 そして常に存在することが示された。

結局、$L>0$, $H>0$ の場合、すべての A, B に対して、 それを通る逆さサイクロイド ($x$, $y$ 方向に同じ比率で拡大したもの) が、 ただ一つ存在することになる。

なお、与えられた $H$, $L$ からそのようなサイクロイドを書くための 車輪の半径 $\alpha _0$ を知ることは、あまり容易ではなく、

$$p_1(\theta_0) = \frac{\theta_0-\sin\theta_0}{1-\cos\theta_0}=\frac{L}{H}$$

となる $\theta_0$ をまず取らなければいけないが、 これは超越方程式であり、コンピュータによる数値計算は可能だろうが、 式の上で値を求めるのは容易ではない。 しかし、図の上でそれを行うには、例えば次のようにすればよい。

1. 高さ $H$, 横 $L$ の長方形 ACBD の左下 C から右上 D への対角線を引く。
2. 左下角から適当に小さい半径 ($r$) の輪を使ってサイクロイドを書き、 そのサイクロイドと対角線との交点 P を取る。 輪の 1 点に目印をつけておいて、長方形の底辺に沿って輪を すべらないようにころがせば、実際にはサイクロイドの線を書かなくても P を見つけることは可能だと思われる。
3. P の真下の高さ $r$ の点 Q を取り、 CQ を延長して長方形の右の辺との交点 R を取れば、 その R の高さが求める $\alpha _0$ となる (図 7)。

図 7: サイクロイドの半径 $\alpha _0$ の作図

これで $\alpha _0$ が求まることは、以下のようにしてわかる。 まず、P($p,q)$ とすると、

$$p=r(\bar{\theta}-\sin\bar{\theta}), \hspace{1zw}q = r(1-\cos\bar{\theta})$$

となる $\bar{\theta}$ が存在するが、 $p:q = \mathrm{CS}:\mathrm{SP}=\mathrm{CB}:\mathrm{BD} = L:H$ なので、

$$\frac{p}{q} = \frac{L}{H} = p_1(\bar{\theta})$$

となり、よって $\bar{\theta}=\theta_0$ となることがわかる。

また、

$$\mathrm{QS}:\mathrm{RB} =\mathrm{CS}:\mathrm{CB} = p:L = r(... ..._0-\sin\theta_0): \alpha_0(\theta_0-\sin\theta_0) = r:\alpha_0$$

なので、$\mathrm{QS}=r$ より $\mathrm{RB}=\alpha_0$ となることがわかる。

サイクロイドを書く手順がやや面倒だろうが、 このようにして半径 $\alpha _0$ がある程度作図できれば、 逆さサイクロイドもある程度手動で作図できるかもしれない。