4 カイ自乗分布

確率変数 $u_1,\ldots,u_n$ が独立で、 $u_j\sim N(0,1)$ ($1\leq j\leq n$) の とき、 $v=u_1^2+\cdots+u_n^2$ が従う確率分布を 「自由度 $n$ のカイ自乗分布 $\chi^2(n)$」と呼ぶ。 この $v$ の密度関数 $g(v)$ を求める。

$N(0,1)$ の密度関数を

  $$f_0(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$$ (15)

とする。 $u_1,\ldots,u_n$ は独立なので、 $n$ 次元確率分布 $(u_1,\ldots,u_n)$ の密度関数は

$$f_0(u_1)\cdots f_0(u_n) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^ne^{-\vert\vec{u}\vert^2/2}$$

となる ([3])。よって、$v$ の分布関数 $G(v)$ は、

$$G(t) = \mathrm{Prob}\{v\leq t\} \ =\ \mathrm{Prob}\{\vert\vec{u}\vert^2=u_1^2+\cdots+u_n^2\leq t\}$$

$$= \int_{\{\vec{u}\vert\ \vert\vec{u}\vert^2\leq t\}} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^ne^{-\vert\vec{u}\vert^2/2}d\vec{u}$$

$$= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n \int_{\mbox{\boldmath\script... ...u}\vert^2/2} \xi_{\{\vec{u}\vert\ \vert\vec{u}\vert^2\leq t\}}(\vec{u})d\vec{u}$$ (16)

となる。ここで、 $H\subset\mbox{\boldmath R}^n$ に対して、 $\xi_H(\vec{x})$ を $H$ の 定義関数、すなわち

  $$\xi_H(\vec{x}) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\vec{x}\in H)\\ 0 & (\vec{x}\not\in H) \end{array}\right.$$ (17)

とする。今の場合、

$$\xi_{\{\vec{u}\vert\ \vert\vec{u}\vert^2\leq t\}}(\vec{u}) = \xi_{\{r\vert\ r^2\leq t\}}(\vert\vec{u}\vert)$$

と 1 次元の定義関数を使って書けるから、 (16) の被積分関数は $\vert\vec{u}\vert$ の関数、 すなわち動径方向のみに依存し、よって (14) により、

  $$G(t) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n \frac{2\pi^{n/2}}{... ...mathit{\Gamma}}(n/2)}\int_0^\infty r^{n-1} e^{-r^2/2}\xi_{\{r\vert\ r^2<t\}}dr$$ (18)

となり、$t\leq 0$ に対しては $G(t)=0$, $t>0$ に対しては、

  $$G(t) = \frac{2^{1-n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)} \int_0^{\sqrt{t}}r^{n-1}e^{-r^2/2}dr$$ (19)

となることがわかる。 よって、$v$ の密度関数 $g(v)=G'(v)$ は、$v<0$ では 0 で、$v>0$ では

$$g(v) = G'(v) = \frac{2^{1-n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)} (\... ...2\sqrt{v}} = \frac{2^{-n/2}}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(n/2)}\,v^{n/2-1}e^{-v/2}$$

となって、これで (1) が得られたことになる。