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4 積分の計算例

2 節の式を実際に計算してみよう。

前半部分の積分は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int x\left(\frac{3}{u}-\frac{5}{u^2}+\frac{5}{u^3}\ri... ... \frac{3}{2}\log(x^2+1)+\frac{5}{2(x^2+1)}-\frac{5}{4(x^2+1)^2}+C\end{eqnarray*}$$

のようになる。

後半部分は、2 通りの方法で計算してみる。 まずは、置換をしない未定係数法でやってみる。

$$\int\left(-\frac{6}{u}+\frac{11}{u^2}-\frac{12}{u^3}\right) ... ..._0\tan^{-1}x + x\left(\frac{B_1}{u}+\frac{B_2}{u^2}\right) + C$$

と置き、両辺を $x$ で微分する。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{-\frac{6}{u}+\frac{11}{u^2}-\frac{12}{u^3} = \frac{B... ... \\ &=& \frac{B_0-B_1}{u}+\frac{2B_1-3B_2}{u^2}+\frac{4B_2}{u^3}\end{eqnarray*}$$

よって、

$$\left\{\begin{array}{ll} B_0-B_1 & = -6\\ 2B_1-3B_2 & = 11\\ 4B_2 & = -12\end{array}\right.$$

より、$B_0=-5$, $B_1=1$, $B_2=-3$ と求まり、よって

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\left(-\frac{6}{u}+\frac{11}{u^2}-\frac{12}{u^3}\r... ... \\ &=& -5\tan^{-1}x + \frac{x}{x^2+1}-\frac{3x}{(x^2+1)^2} + C\end{eqnarray*}$$

となる。

次は、$x=\tan\theta$ と置換してからやってみる。この場合、 $1/u=\cos^2\theta$, $dx=d\theta/\cos^2\theta$ なので、

$$\int\left(-\frac{6}{u}+\frac{11}{u^2}-\frac{12}{u^3}\right) dx =\int(-6+11\cos^2\theta-12\cos^4\theta)d\theta$$ (2)

であり、これは

$$\int(-6+11\cos^2\theta-12\cos^4\theta)d\theta =B_0\theta + \sin\theta\cos\theta\times(B_1+B_2\cos^2\theta)+C$$

と置ける。この式を両辺微分すると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{-6+11\cos^2\theta-12\cos^4\theta = B_0+B_1(\sin\thet... ...eta) \\ &=& (B_0-B_1)+(2B_1-3B_2)\cos^2\theta+4B_2\cos^4\theta\end{eqnarray*}$$

となるので、結局

$$\left\{\begin{array}{ll} B_0-B_1 & = -6\\ 2B_1-3B_2 & = 11\\ 4B_2 & = -12\end{array}\right.$$

となり、この連立方程式は置換しない場合と全く同一で、 $B_0=-5$, $B_1=1$, $B_2=-3$ となる。よって、

$${\int(-6+11\cos^2\theta-12\cos^4\theta)d\theta = -5\theta + \sin\theta\cos\theta\times(1-3\cos^2\theta)+C}$$

$$= -5\tan^{-1}x + \frac{x}{u}\left(1-\frac{3}{u}\right)+C = -5\tan^{-1}x + \frac{x}{x^2+1}-\frac{3x}{(x^2+1)^2}+C$$

となる。

ついでであるから、未定係数法ではなく、 $x=\tan\theta$ と置換したあとで部分積分による方法でも計算してみよう。 (2) から部分積分を行う。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\cos^4\theta d\theta = \int\cos^3\theta(\sin\thet... ...\cos^3\theta+3\int\cos^2\theta d\theta -3\int\cos^4\theta d\theta\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$4\int\cos^4\theta d\theta = \sin\theta\cos^3\theta+3\int\cos^2\theta d\theta$$

となる。よって、(2) は、

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 561 (\ref{eq:theta}) &=& -6\theta + 1... ...&=& -6\theta -3\sin\theta\cos^3\theta +2\int\cos^2\theta d\theta\end{eqnarray*}$$

となるが、倍角の公式を使えば、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{2\int\cos^2\theta d\theta = \int(\cos 2\theta+1)d\th... ...ac{1}{2}\sin 2\theta+\theta + C = \sin\theta\cos\theta+\theta+C\end{eqnarray*}$$

となるので、結局

$$% latex2html id marker 657(\ref{eq:theta}) = -5\theta -3\sin\theta\cos^3\theta+\sin\theta\cos\theta+C$$

となり、(3) の式が得られたことになる。

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