3 関数の増分を用いた証明

次に、関数の増分を用いた証明を紹介する。 これは、証明の最初の行は前節と同じであるが、 (2) より、

$$f(x+\Delta x) = f(x) + \Delta f, \hspace{1zw}g(x+\Delta x) = g(x) + \Delta g$$

と書くことで、分子の $f(x+\Delta x)$, $g(x+\Delta x)$ を 関数の増分 $\Delta f$, $\Delta g$ で表し、 そこから「自然な式変形」で積の微分の公式を導くものである。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(f(x)g(x))' \ =\ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{... ... f'(x)g(x)+f(x)g'(x) + f'(x)\times 0 \ =\ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{eqnarray*}$$

最後の 0 の部分は、

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta g} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\{g(x+\Delta x)-g(x)\}} = 0$$

からわかる。

こちらの証明は、分子の計算では不自然の足し引きは現れず、 単純な展開と整理の計算なので、教科書の方法よりも自然な計算になっている。

なお、この分子の計算

$$\Delta(fg) = (f(x)+\Delta f)(g(x)+\Delta g) - f(x)g(x) = f(x)\Delta g+(\Delta f)g(x)+\Delta f\Delta g$$

は、図 1 のように面積の図で 説明されることもある (cf. [2])。

図 1: $\Delta (fg)$ を面積で表現 (太枠内が $\Delta (fg)$)