8 テイラー展開

本節では、双曲線関数のテイラー展開 (マクローリン展開) を紹介する。 良く知られているように、$\sin x$, $\cos x$ のマクローリン展開は

$$\sin x = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty),$$ (40)

$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty)$$ (41)

となるが、$e^x$, $e^{-x}$ のマクローリン展開は

$$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty),$$ (42)

$$e^{-x} = 1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty),$$ (43)

であるから、これらを足し引きすれば、$\sinh x$, $\cosh x$ のマクローリン展開

$$\sinh x = \frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty),$$ (44)

$$\cosh x = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots \hspace{1zw}(-\infty<x<\infty)$$ (45)

が得られる。 なお、これらは (40), (41) に $ix$ を代入して 7 節の (29), (31) を用いても得ることができる。

$\tan x$ のマクローリン展開は、 微分を使って定義通りに計算するのはかなり面倒なので 例えば以下のように計算すればよい。

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{1-(1-\cos x)}$$

であり、 $-\pi/2<x<\pi/2$ では $0\leq 1-\cos x<1$ なので、

$$\frac{1}{1-(1-\cos x)} = 1+(1-\cos x)+(1-\cos x)^2+(1-\cos x)^3+\cdots$$

となるから、

$$\tan x = \sin x\{1+(1-\cos x)+(1-\cos x)^2+\cdots\}$$

となるが、ここに (40), (41) を代入すれば、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\tan x} &=& \left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}... ...ight)x^5+\cdots &=& x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15} x^5+\cdots\end{eqnarray*}$$

のようになる。$\tanh x$ は、(29), (31) より

$$\tan ix = \frac{\sin ix}{\cos ix} = \frac{i\sinh x}{\cosh x} = i\tanh x$$

なので、

$$\tanh x = \frac{1}{i} \tan ix = \frac{1}{i} \left(ix-\fr... ... x^5+\cdots\right) = x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15} x^5+\cdots$$

のようにして $\tan x$ の展開式から求めることができる。

次は逆関数のマクローリン展開を考える。 これは、導関数の展開を先に考えると容易に求められる。 例えば $\arctan y$ のマクローリン展開は、

$$(\arctan y)'=\frac{1}{1+y^2}=1-y^2+y^4-y^6+\cdots\hspace{1zw}(-1<y<1)$$

より、この両辺を 0 から $y$ まで積分すれば、$\arctan 0=0$ なので、

$$\arctan y = \frac{y}{1}-\frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}-\frac{y^7}{7}+\cdots \hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (46)

となる。これと同様にすれば、

$$(\mathop{\rm arctanh}y)'=\frac{1}{1-y^2}=1+y^2+y^4+y^6+\cdots\hspace{1zw}(-1<y<1)$$

より、

$$\mathop{\rm arctanh}y = \frac{y}{1}+\frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}+\frac{y^7}{7}+\cdots \hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (47)

が得られる。

他の逆関数は、$1/\sqrt{1-x}$ の展開式を利用すればよいが、 一般二項定理により

$$\frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\... ...array}{c} -1/2 n \end{array}\right)x^n \hspace{1zw}(-1<x<1)$$ (48)

であり、

$$(-1)^n\left(\begin{array}{c} -1/2 n \end{array}\right) =(... ... 2\cdots n} =\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}$$

となるが、

$$m!! = \left\{\begin{array}{ll} (2n)(2n-2)\cdots 4\cdot 2 ... ...ox{ のとき}),\\ 1 & (m=0,-1 \mbox{ のとき})\end{array}\right.$$

と書くことにすると、結局 $n\geq 0$ に対して

$$(-1)^n\left(\begin{array}{c} -1/2 n \end{array}\right) = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$

と書けることになり、(48) は、

$$\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^n \hspace{1zw}(-1<x<1)$$ (49)

となる。よって、

$$\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} y^{2n} \hspace{1zw}(-1<y<1)$$

を 0 から $y$ まで積分すれば

$$\arcsin y = \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{y^{2n+1}}{2n+1} \hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (50)

が得られ、

$$\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} y^{2n} \hspace{1zw}(-1<y<1)$$

を 0 から $y$ まで積分すれば (17) より

$$\mathop{\rm arcsinh}y = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{y^{2n+1}}{2n+1} \hspace{1zw}(-1<y<1)$$ (51)

が得られる。

あとは $\mathop{\rm arccosh}y$ の展開だけであるが、 $\mathop{\rm arccosh}y$ は $y\geq 1$ の関数で、 しかも $y=1$ では微分可能ではない (微分係数は $\infty$) のでこのままテイラー展開はできない。 その代わりに $y=1/t$ として、 $x=\mathop{\rm arccosh}1/t$ の $t$ に関する展開を考えてみることにする ($0<t\leq 1$)。 (15) より、

$$\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t} = \log\left(\frac{1}{t}+\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}\right) = \log\frac{1+\sqrt{1-t^2}}{t}$$

$$= \log\left(1+\sqrt{1-t^2}\right)-\log t$$ (52)

となるが、合成関数の微分 ($y=1/t$) と (18) より、

$$\left(\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t}\right)' = \frac{1}{\sq... ...} \frac{1}{t^2} = -\frac{1}{t\sqrt{1-t^2}}\hspace{1zw}(0<t<1)$$

となる。ここで、(49) より

$$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} t^{2n} \hspace{1zw}(0<t<1)$$

であるから、

$$\left(\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t}\right)' = -\frac{1}{t}... ...1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} t^{2n-1} \hspace{1zw}(0<t<1)$$

より、

$$\left(\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t}+\log t\right)' = -\sum... ...1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} t^{2n-1} \hspace{1zw}(0<t<1)$$

となる。この両辺を $+0$ から $t$ まで積分すると、左辺は

$$\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t}+\log t -\lim_{x\rightarrow +0}\left(\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{x}+\log x\right)$$

となるが、(52) より

$$\lim_{x\rightarrow +0}\left(\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{x}+... ...=\lim_{x\rightarrow +0}\log\left(1+\sqrt{1-x^2}\right) =\log 2$$

なので、

$$\mathop{\rm arccosh}\frac{1}{t} + \log t-\log 2 = -\sum_{n=1... ...\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{t^{2n}}{2n} \hspace{1zw}(0<t<1)$$

となる。これを $y$ に戻せば、結局

$$\mathop{\rm arccosh}y = \log y + \log 2 -\sum_{n=1}^\infty... ...)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2n} \frac{1}{y^{2n}} \hspace{1zw}(y>1)$$ (53)

が得られる。 これは、厳密にはテイラー展開ではないが、 $y=\infty$ を中心とするようなある種の展開 (漸近展開) になっている。