10 積分

最後に、$e^{At}$ の積分について紹介する。 簡単なものは既に計算しているが、本稿ではより一般の $A$ について考える。

通常の関数からの類推で、

  $$\int e^{At}dt = A^{-1}e^{At}+C = e^{At}A^{-1}+C \hspace{1zw}(\mbox{$C$\ は任意の定数行列})$$ (38)

となることが容易に予想されると思う。実際、$A$ が正則であれば、

$$(A^{-1}e^{At})'=A^{-1}Ae^{At}=e^{At}, \hspace{1zw}(e^{At}A^{-1})'=e^{At}AA^{-1}=e^{At}$$

となるので、確かに (38) が成り立つ。 しかし、$e^{At}$ は $A$ が正則ではない場合も存在し、 そして積分もできるので、その場合どうなるかも考えてみる。

ジョルダン標準形による表現 (15) より、

$$\int e^{At}dt = Q\int e^{Jt}dt Q^{-1} =Q\left[\begin{array}{ccc}\... ...isebox{0ex}{\LARGE$0$}} & \int e^{J(\lambda_s,k_s)t}dt\end{array}\right]Q^{-1}$$

となるので、個々のジョルダン細胞に対して考えればよい。

$\vert J(\lambda,k)\vert=\lambda^k$ なので、 ジョルダン細胞 $J(\lambda,k)$ が正則であることは $\lambda\neq0$ と 同値であり、その場合は $J(\lambda,k)^{-1}$ が存在し、 (38) により

$$\int e^{J(\lambda,k)t} dt = J(\lambda,k)^{-1}e^{J(\lambda,k)t}+C = e^{J(\lambda,k)t}J(\lambda,k)^{-1}+C$$

となる。この $J(\lambda,k)^{-1}$ をここで求めておく。

定理 10.1 $\lambda\neq0$ のとき、

  $$J(\lambda,k)^{-1} = \sum_{j=0}^{k-1}\frac{(-1)^j}{\lambda^{j+1}}\,J(0,k)^j$$ (39)

証明

(39) の右辺を $D$ とすると、$J(0,k)^k=O$ より、

$$\begin{eqnarray*}J(\lambda,k)D &=& (\lambda E+J(0,k))D \ =\ \sum_{j=0}^{k-1... ...ambda^0}\,J(0,k)^0-\,\frac{(-1)^k}{\lambda^k}\,J(0,k)^k \ =\ E \end{eqnarray*}$$

よって、$\lambda\neq0$ のときは、 $e^{J(\lambda,k)t}$ の積分は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{J(\lambda,k)^{-1}e^{J(\lambda,k)t} \ =\ \sum_{j=0}^... ...}^m\frac{(-1)^{m-\ell}}{\lambda^{m-\ell+1}}\,\frac{t^\ell}{\ell!}\end{eqnarray*}$$

となる。例えば、

$$\begin{eqnarray*}J(\lambda,1)^{-1}e^{J(\lambda,1)t} &=& \frac{1}{\lambda}\,e^{... ...\frac{t}{\lambda^2} +\frac{t^2}{2\lambda}\right)J(0,3)^2\right\}\end{eqnarray*}$$

等となる。

一方 $\lambda=0$ の場合は、

$$e^{J(0,k)t}=\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}\,J(0,k)^j$$

と単純な $t$ の多項式になるのでむしろ積分は容易で、

$$\int e^{J(0,k)t}dt = \sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^{j+1}}{(j+1)!}\,J(0,k)^j + C =L_1(k,t)+C$$

となる。これは当然 $J(0,k)$ の逆行列では表現できないが、 これをあえて $\lambda\neq0$ の場合の形に近い、

$$L_1(k,t)=L_2(k,t)e^{J(0,k)t}$$

の形に表すとすると、$L_2(k,t)$ は

$$\begin{eqnarray*}L_2(k,t) &=& L_1(k,t)e^{-J(0,k)t} \\ &=& \sum_{j=0}^{k-1}\f... ...(0,k)^mt^{m+1} \sum_{\ell=0}^m\frac{(-1)^\ell}{\ell!(m-\ell+1)!}\end{eqnarray*}$$

となるが、ここで最後の内側の和の部分を $\alpha_m$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\alpha_m &=& \sum_{\ell=0}^m\frac{(-1)^\ell}{\ell!(m-\ell+1)!... ...ac{1}{(m+1)!}\{(1-1)^{m+1}+(-1)^m\} \ =\ \frac{(-1)^m}{(m+1)!}\end{eqnarray*}$$

となるので、よって

$$L_2(k,t)=\sum_{m=0}^{k-1}J(0,k)^m\frac{(-1)^mt^{m+1}}{(m+1)!} =-L_1(k,-t)$$

となる。

実際は、 $L_2(k,t)=-L_1(k,-t)$ を求めてからそれを $e^{J(0,k)t}$ に かけることは、むしろ直接積分を計算するより面倒なので特に意味はないが、 これを使えば一応統一的に $e^{Jt}$ とある行列の積の形にすることができる。

例えば、$\lambda\neq0$ として、$A$ のジョルダン標準形が、

$$J =\left[\begin{array}{cc}J(\lambda,k_1)&\raisebox{-.5ex}{\Large$0$}\\ [.7ex] \raisebox{0ex}{\Large$0$}& J(0,k_2)\end{array}\right]$$

である場合、

$$\begin{eqnarray*}\int e^{Jt}dt &=& \left[\begin{array}{cc}J(\lambda,k_1)^{-1}... ...\raisebox{0ex}{\Large$0$}& -L_1(k_2,-t)\end{array}\right]e^{Jt}+C\end{eqnarray*}$$

となり、

$$\begin{eqnarray*}\int e^{At}dt &=& Q\left[\begin{array}{cc}J(\lambda,k_1)^{-1}... ..._2,-t)\end{array}\right]Q^{-1}e^{At}+C \ =\ \hat{A}(t)e^{At}+C\end{eqnarray*}$$

と、(38) に近い形で書けることになる。 ただし、$\hat{A}(t)$ は定数ではなく、 0 の固有値の部分は $t$ の多項式を含むところが異なる。 より一般のジョルダン標準形の場合も同様である。