3 1 次変換の不変方向

本節から、固有値・固有ベクトルに関連する具体例をいくつか紹介する。 まず、本節では 1 次変換の不変方向について説明する。

1 次変換とは、主に 2 次元、または 3 次元の点から点への 1 次式 による変換で、

  $$\left\{\begin{array}{ll} x' &= a_1 x + b_1 y\\ y' &= a_2 x + ... ...y' &= a_2 x + b_2 y + c_2 z\\ z' &= a_3 x + b_3 y + c_3 z \end{array}\right.$$ (1)

の形に表されるものを指す。これは、それらの点の位置ベクトルと行列

$$\mbox{\boldmath$x$}=\left[\begin{array}{r}x\\ y\end{array}\right]... ...\hspace{1zw}A = \left[\begin{array}{rr}a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\end{array}\right]$$

により $\mbox{\boldmath$x$}'=A\mbox{\boldmath$x$}$ と表される (3 次元も同様)。 1 次変換は線形写像なので、 基本ベクトルの像で決定する。すなわち、基本ベクトル

$$\mbox{\boldmath$e$}_1=\left[\begin{array}{r}1\\ 0\end{array}\righ... ...hspace{1zw}\mbox{\boldmath$e$}_2=\left[\begin{array}{r}0\\ 1\end{array}\right]$$

に対し、

$$\mbox{\boldmath$x$} = \left[\begin{array}{r}x\\ y\end{array}\right] = x\mbox{\boldmath$e$}_1+y\mbox{\boldmath$e$}_2$$

より、

  $$\mbox{\boldmath$x$}' = A\mbox{\boldmath$x$} = xA\mbox{\boldm... ...ray}{r}b_1\\ b_2\end{array}\right] = x\mbox{\boldmath$a$}+y\mbox{\boldmath$b$}$$ (2)

と表されるので、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$, $\mbox{\boldmath$e$}_2$ に基づく格子が、 $A$ により $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$ に基づく格子の座標平面に変換される と見ることができる (図 1)。

図 1: 基本ベクトルの変換先による格子での 1 次変換の表示

この 1 次変換の様子を知る、もう一つの方法が、 固有値、固有ベクトルによる不変方向の確認である。 1 次変換の固有値がともに実数で、固有値、固有ベクトルを

$$A\mbox{\boldmath$p$}_1=\lambda_1\mbox{\boldmath$p$}_1, \hspace{1zw}A\mbox{\boldmath$p$}_2=\lambda_2\mbox{\boldmath$p$}_2$$

とすると、 $\mbox{\boldmath$p$}_1$ 方向、 $\mbox{\boldmath$p$}_2$ 方向のベクトルは、 この 1 次変換で方向は不変で、拡大 (固有値が負なら反転も) のみとなる。 例えば、

$$A=\left[\begin{array}{rr}3&-2\\ 2&-2\end{array}\right]$$

なら、

$$\phi_A(\lambda) = \vert\lambda E-A\vert = \left\vert\begin{array}... ...\end{array}\right\vert = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1)$$

なので、固有値は $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=2$, 固有ベクトルは、

$$\mbox{\boldmath$p$}_1 = \left[\begin{array}{r}1\\ 2\end{array}\ri... ...pace{1zw}\mbox{\boldmath$p$}_2 = \left[\begin{array}{r}2\\ 1\end{array}\right]$$

となる。 よってこの $\mbox{\boldmath$p$}_1$ の方向には反転され、 $\mbox{\boldmath$p$}_2$ の方向には 2 倍の拡大、 ということになる (図 2)。

図 2: 固有ベクトル方向の格子

最初の基本ベクトルの変換よりも、 むしろ不変方向に見る場合が都合がいい場合もあるだろう。